Pierwszy znany dowód przypisywany jest szkockiemu matematykowi Jamesowi Gregory’emu (1638–1675).
Twierdzenie Niech będzie funkcją zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych, całkowalną w sensie Riemanna w przedziale Wówczas:
(1) Funkcja jest całkowalna na każdym przedziale dla i odwzorowanie dane wzorem
jest ciągłe w przedziale Jeżeli ponadto jest ciągła w pewnym punkcie to funkcja jest różniczkowalna w oraz
(2) Jeżeli jest funkcją ciągłą na i różniczkowalną na oraz dla każdego
to
innymi słowy, zachodzi wzór na całkę Leibnitza-Newtona
oprócz tego na
Wzór Newtona-Leibniza (animacja)
Dowód (1) Wykażemy, że jeśli jest ciągła na to funkcja dana wzorem
jest różniczkowalna w każdym punkcie odcinka Niech i będą tak dobrane, by leżały w przedziale Wówczas
i
Odejmując stronami, otrzymujemy
Z własności całki oznaczonej wynika, że
skąd mamy natychmiast
Na mocy twierdzenia o wartości średniej dla rachunku całkowego istnieje takie, że
Stąd
a po podzieleniu obu stron przez
Jak widać, wyrażenie to jest ilorazem różnicowym funkcji w punkcie Przechodząc po obu stronach do granicy z otrzymujemy
Zauważmy, że wyrażenie po lewej stronie jest definicją pochodnej funkcji w punkcie
Ponieważ jasne jest, że gdy to W konsekwencji,