Rozpoczął sezon 2009/2010 jako rezerwowy za Craigiem Andersonem, byłym bramkarzem Florida Panthers. Przed pierwszym występem zdiagnozowano u niego wirusa H1N1 i odizolowano od reszty drużyny do momentu gdy sztab szkoleniowy uzna iż może bez przeszkód grać. W końcu Budaj zaliczył swój pierwszy występ w sezonie 4 listopada przeciwko Phoenix Coyotes. Zatrzymał 28 z 29 strzałów zapewniając Avalanche zwycięstwo 4-1. Łącznie od 2005 do 2011 Budaj rozegrał sześć sezonów w barwach Colorado Avalanche.
Od lipca 2011 zawodnik Montreal Canadiens. W kwietniu 2013 przedłużył kontrakt z klubem o dwa lata. Od października 2014 zawodnik Winnipeg Jets, po czym przekazany do zespołu St. John’s IceCaps w lidze AHL i tam występował w sezonie 2015/2016. Od sierpnia 2015 zawodnik Los Angeles Kings (oficjalnie od października tego roku). Został jednak przekazany do drużyny farmerskiej Ontario Reign w lidze AHL. W sezonie 2016/2017 ponownie grał w Los Angeles Kings. Od końca lutego 2017 zawodnik Tampa Bay Lightning. W czerwcu 2018 ponownie został bramkarzem Los Angeles Kings.