Funkcję
nazywa się homeomorfizmem, gdy: jest bijekcją, jest funkcją ciągłą, jest funkcją ciągłą.
Uwaga Założenie ciągłości funkcji odwrotnej w powyższej definicji jest istotne, ponieważ istnieją nieciągłe funkcje odwrotne do ciągłych bijekcji.
Niech będzie okręgiem jednostkowym z topologią dziedziczoną z płaszczyzny oraz niech
będzie funkcją daną wzorem
Funkcja jest ciągłą bijekcją. Jednak funkcja do niej odwrotna nie jest ciągła w punkcie (1,0), gdyż ale obraz żadnego otwartego łuku otaczającego punkt (1,0) nie jest zawarty w otoczeniu punktu .
Homeomorfizm a dyfeomorfizm Szczególnym przypadkiem homeomorfizmu jest dyfeomorfizm, który można rozpatrywać, jeśli dziedzina i przeciwdziedzina są rozmaitościami różniczkowymi. Dyfeomorfizm jest homeomorfizmem klasy którego odwrotność również jest funkcją klasy W szczególności istnieją rozmaitości, które są homeomorficzne, ale nie dyfeomorficzne.
Homeomorfizm a izometria Homeomorfizm w ogólności nie zachowuje odległości między punktami (gdyż dopuszcza dowolne rozciąganie i ściskanie), w odróżnieniu od izometrii. Izometria jest więc szczególnym przypadkiem homeomorfizmu.
Przykłady:
1) Wgniecenie płaskiej membrany bębna jest homeomorfizmem, lecz nie jest izometrią.
2) Dowolne przesunięcie w jest izometrią.