w algorytmach, by wykazać zbieżność procesu iteracji poprzez wskazanie, iż kolejne wyrazy iteracji tworzą ciąg Cauchy’ego.
Ciągi Cauchy’ego liczb wymiernych mogą być użyte do formalnej konstrukcji zbioru liczb rzeczywistych, co zrobili po raz pierwszy Charles Méray i Georg Cantor.
Definicje formalne Niech będzie ciągiem liczbowym, tj. Ciąg jest ciągiem Cauchy’ego, jeśli
Oznacza to, że wybierając dowolnie małą dodatnią liczbę rzeczywistą można ustalić odpowiednio duży wskaźnik taki, że dowolne dwa wyrazy o wyższych wskaźnikach są odległe od siebie o mniej niż
Pojęcie to można przenieść na dowolne przestrzenie metryczne.
Niech będzie przestrzenią metryczną i niech będzie ciągiem elementów tej przestrzeni. Ciąg jest ciągiem Cauchy’ego, jeśli:
Definicję ciągu Cauchy’ego w przestrzeni metrycznej można wyrazić również za pomocą średnicy zbioru.
Niech będzie ciągiem elementów tej przestrzeni metrycznej i Ciąg jest ciągiem Cauchy’ego, gdy
Przykłady Ciąg liczbowy o wyrazie ogólnym jest ciągiem Cauchy’ego. Rzeczywiście, dla dowolnego wystarczy przyjąć Wówczas dla zachodzi:
Ciąg liczbowy o wyrazie ogólnym nie jest ciągiem Cauchy’ego. Niech np.