Stosując wspomniany schemat oraz dodając do teorii mnogości Zermela aksjomat regularności, zaproponowany przez Zermela w 1930 roku, otrzymuje się teorię ZF.
Aksjomaty Zermela-Fraenkla Aksjomat ekstensjonalności
Jeżeli zbiory i mają te same elementy, to są identyczne:
Aksjomat zbioru pustego
Istnieje zbiór, który nie ma żadnego elementu:
Na mocy aksjomatu ekstensjonalności istnieje tylko jeden zbiór posiadający taką właściwość: zbiór pusty, oznaczany symbolem
Aksjomat podzbiorów
Inne nazwy: aksjomat wyróżniania, aksjomat wycinania. Dla każdego zbioru istnieje zbiór złożony z tych i tylko tych elementów zbioru które mają własność
Aksjomat podzbiorów daje się wyprowadzić z aksjomatu zbioru pustego i aksjomatu zastępowania.
Aksjomat pary
Dla dowolnych zbiorów i istnieje zbiór którego elementami są dokładnie zbiory i
Aksjomat sumy
Dla dowolnej rodziny zbiorów istnieje zbiór do którego należą dokładnie te elementy które należą do co najmniej jednego spośród zbiorów, które są elementami rodziny
Aksjomat zbioru potęgowego
Dla każdego zbioru istnieje zbiór którego elementami są dokładnie podzbiory zbioru
Aksjomat nieskończoności
Istnieje zbiór induktywny: