gdzie z (nazywanym rozmiarem kroku) równym oraz są wagami. Wagi można wyprowadzić z wielomianów bazowych Lagrange’a. To oznacza, że zależą tylko od a nie od funkcji wielomianem interpolacji w postaci Lagrange’a dla punktów
Otwarty wzór Newtona-Cotesa rzędu
wagi znajdujemy w sposób analogiczny do powyższego.
Możemy skonstruować wzór Newtona-Cotesa dowolnego rzędu. Niektóre wzory niskich rzędów mają swoje tradycyjne nazwy. W poniższej tabeli znajdują się wzory Newtona-Cotesa typu zamkniętego. Notacja oznacza
Rząd Tradycyjna nazwa Wzór Błąd 1 wzór trapezów 2 wzór Simpsona 3 reguła 3/8 4 wzór Boole’a czasem błędnie nazywany wzorem Bode’a
Wykładnik o kroku w wyrazie błędu pokazuje szybkość zmniejszania się błędu przybliżenia. Pochodna w wyrazie błędu pokazuje który wielomian może być scałkowany dokładnie (tzn. z błędem równym 0). Można zauważyć, że stopień pochodnej w oszacowaniu błędu wzrasta o 2 dla co drugiego wzoru. Liczba leży pomiędzy i
W poniższej tabeli znajdują się wzory Newtona-Cotesa typu otwartego. Rząd Tradycyjna nazwa Wzór Błąd 0 wzór prostokątów 1 2 3