Iloczynem tensorowym modułów i nazywa się taki moduł, którego odwzorowania liniowe (homomorfizmy) w dowolny moduł są we wzajemnie jednoznacznej odpowiedniości z odwzorowaniami dwuliniowymi modułów i w moduł
Istnienie i określenie Jeżeli jest pierścieniem przemiennym oraz i są odpowiednio prawym i lewym -modułem, to istnieje z dokładnością do izomorfizmu jedyny taki -moduł oraz odwzorowanie dwuliniowe
że dla każdej grupy abelowej oraz dla każdego odwzorowania dwuliniowego
istnieje taki homomorfizm grup
że
Moduł (wraz z odzorowaniem ) nazywana jest iloczynem tensorowym modułów i i oznaczana symbolem (bądź po prostu gdy z kontekstu wynika nad jakim pierścieniem rozważane są moduły). Innymi słowy, iloczyn tensorowy i to jedyna z dokładnością do izomorfizmu grupa abelowa dla której diagram 220px
jest przemienny.
Konstrukcja iloczynu tensorowego modułów Iloczyn tensorowy -modułów i (wraz z odwzorowaniem ) może zostać skonstruowany w następujący sposób: rozpatrzmy moduł wolny generowany przez iloczyn kartezjański Jego elementami są funkcje o skończonym nośniku postaci
dla pewnych gdzie oznacza funkcję, która przyporządkowuje 1, gdy i 0 w przeciwnym wypadku.