Niestety tak zdefiniowany iloczyn tensorowy nie byłby działaniem dwuliniowym, gdyż np.
(6) Chcielibyśmy, aby zachodziły równości
itd. Zachodzenie tych równości można wymusić, biorąc odpowiednią przestrzeń ilorazową
(7) Ogólnie rzecz biorąc, jeżeli jest podmodułem modułu to w module ilorazowym dla mamy
czyli w module ilorazowym elementy są zlepione do zera.
(8) Równości
itd. zachodzą w przestrzeni ilorazowej Istotnie, ponieważ
to w związku z tym co zostało powiedziane powyżej
Innymi słowy
(9) W związku z powyższym zdefiniowane wzorem
jest już działaniem dwuliniowym, tak jak powinno być.
(10) Iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych jest zdefiniowany niejednoznacznie i jest wyznaczony tylko z dokładnością do izomorfizmu. W związku z tym w konkretnych zastosowaniach iloczyn tensorowy może być skonstruowany inaczej niż w konstrukcji z poprzedniej sekcji, wykorzystując dodatkową strukturę przestrzeni liniowych i (patrz: Przykłady).
(11) W analogiczny sposób może zostać skonstruowany iloczyn tensorowy modułów.
Baza i wymiar iloczynu tensorowego Jeżeli przestrzenie liniowe są skończeniewymiarowe, to ich bazy indukują bazę iloczynu postaci
W szczególności wynika z tego, że każdy element można jednoznacznie przedstawić w postaci
dla pewnych skalarów