Iloczynem tensorowym operatorów ograniczonych określonych na przestrzeniach Hilberta nazywa się operator taki że:
dziedziną operatora jest iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta, tj.
(ogólniej: jeżeli dziedzinami operatorów są podprzestrzenie odpowiednich przestrzeni Hilberta tj. to dziedziną operatora jest iloczyn tensorowy tych podprzestrzeni) wynik działania operatora na wektor – iloczyn tensorowy wektorów należący do dziedziny operatora jest równy iloczynowi tensorowemu wektorów tj.
czyli
Iloczyn tensorowy operatorów samosprzężonych Twierdzenie:
Jeżeli
(1) są skończenie wymiarowymi przestrzeniami Hilberta o wymiarach
(2) są operatorami samosprzężonymi określonymi na przestrzeniach oraz jest zbiorem wartości własnych operatora jest bazą ortonormalną złożoną z wektorów własnych odpowiadających wartościom własnym operatora
(3) Operator gdzie – iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta
zadany jest wzorem
(przy czym określenie operatora wyłącznie na wektorach bazy jest wystarczające, zgodnie z twierdzeniem o operatorze liniowym zadanym na bazie)
to słuszne są następujące własności:
(1) operator jest również operatorem samosprzężonym
(2) Wartościami własnymi operatora są liczby
(3) dla wszystkich słuszne są równości
(4) norma operatora jest iloczynem norm poszczególnych operatorów gdyż: