każdy kolejny zbiór jest "mniejszy" i znajduje się w zbiorze poprzednim):
Aksjomat, powoduje że nie istnieje taki zbiór, w którym moglibyśmy wybrać jakiś element, w tym elemencie wybrać kolejny element, w tym ostatnim kolejny i tak dalej bez końca. Gwarantuje to nam, że zawsze w pewnym momencie będziemy musieli zatrzymać się (w schodzeniu na kolejny poziom zagnieżdżenia), gdyż dojdziemy do elementu, który nie zawiera w sobie żadnych elementów.
{| class="toccolours collapsible collapsed" width="80%" style="text-align:left" !Dowód
Założmy że istnieje taki nieskończony łańcuch zbiów , gdzie zachodzi . Wówczas, korzystając z aksjomatów nieskończoności i zstępowania, możemy utworzyć zbiór którego elementami są owe zbiory tj. . Na mocy aksjomatu regularności musi istnieć taki że . Zatem dla pewnego i, ale wiemy że a to oznacza, że oraz , zatem . Zatem otrzymaliśmy sprzeczność z aksjomatem regularności, więc taki łańcuch zbiorów nie może istnieć.
Cykle
Rozważając łańcuchy malejące, w szczególności nie może istnieć sytuacja że zbiór zawiera bezpośrednio lub pośrednio sam siebie tj. .