Geometria rozważa przestrzenie wielowymiarowe. Dla danej liczby naturalnej n istnieje dokładnie jedna przestrzeń euklidesowa o wymiarze n, zaś przestrzeni nieeuklidesowych wymiaru n jest nieskończenie wiele. Te ostatnie można konstruować np. poprzez deformację przestrzeni euklidesowej.
Podejście klasyczne do geometrii
Około 300 p.n.e. grecki matematyk Euklides badał własności geometryczne na płaszczyźnie (wyidealizowanej powierzchni) i w przestrzeni i stworzył podwaliny pod geometrię dwu- i trójwymiarową. Geometrie te nazwano z czasem geometriami euklidesowymi.
Euklides sformułował geometrię następująco:
(1) Niektóre pojęcia przyjął bez definicji, odwołując się do intuicji (są to tzw. pojęcia pierwotne geometrii): punktu, prostej, płaszczyzny, należenia punktu do prostej (zob. incydencja), należenia prostej do płaszczyzny itd. (2) Wszystkie inne pojęcia, takie jak kąt, odcinek, półprosta, okrąg itp., zdefiniował odwołując się do pojęć pierwotnych i aksjomatów.
Euklides przyjął, że punkt, prosta, płaszczyzna i przestrzeń mają wymiar równy kolejno: zero, jeden, dwa, trzy.