z danego układu do innego tak jak transformują się do tego układu podwójne iloczyny różniczek 4-wektora położenia itd.
Iloczyn skalarny 4-wektorów Każda wielkość fizyczna dająca się wyrazić jako funkcja iloczynu skalarnego czterowektorów jest niezmiennikiem relatywistycznym:
Uzasadnienie Niech będzie dana transformacja relatywistyczna zadana przez tensor którego działanie na wektory A i B wyraża się jako:
Iloczyn skalarny nowych wektorów ma postać:
Jednak każda transformacja Lorentza spełnia równość:
Skąd otrzymujemy:
Inne skalarne niezmienniki relatywistyczne Interwał czasoprzestrzenny Jednym z niezmienników transformacji Lorentza jest interwał czasoprzestrzenny, czyli odległość między dwoma zdarzeniami w czasoprzestrzeni. Wyraża się on wzorem
gdzie: – różnica między czasami zajścia zdarzeń, – odległościami przestrzenne między zdarzeniami wzdłuż osi X, Y, Z.
DowódWzory transformacyjne Lorentza
można zapisać w postaci
Podnosząc obie strony do kwadratu i mnożąc drugie równanie przez c² otrzymamy
a po odjęciu stronami
Długość 4-wektora energii-pędu Czterowektor energii-pędu jest dany wyrażeniem