bazowy układ współrzędnych, tak że każdy punkt przestrzeni określony jest przez trójkę liczb zwanych współrzędnymi tego punktu; wektor wodzący punktu ma postać
gdzie: – wektory lokalnej bazy układu współrzędnych kartezjańskich; wektory te są ortogonalne i unormowane do 1.
(3) W przestrzeni wprowadzamy drugi dowolny krzywoliniowy układ współrzędnych zdefiniowany względem układu współrzędnych kartezjańskich zadany za pomocą funkcji
lub
(4) Przekształcenie musi być jednoznaczne, dlatego jakobian przekształcenia musi być różny od zera w całym obszarze, gdzie chce się wprowadzić współrzędne krzywoliniowe
(5) Bazę układu tworzą wektory styczne do linii układu współrzędnych
Podstawiając
otrzymamy wyrażenie na wektory styczne do linii współrzędnych w układzie krzywoliniowym, wyrażone w bazie układu kartezjańskiego
przy czym należy pamiętać, że w powyższym wzorze obowiązuje sumowanie po powtarzającym się wskaźniku
Z powyższego widać, że: Wektory bazy kartezjańskiej transformują się na bazę układu krzywoliniowego poprzez macierz
(tj.