Twierdzenie Krulla – twierdzenie teorii pierścieni mówiące o istnieniu ideałów maksymalnych w dowolnym nietrywialnym pierścieniu z jedynką lub równoważnie: każdy ideał właściwy jest zawarty w pewnym ideale maksymalnym danego nietrywialnego pierścienia z jedynkąPierwsze sformułowanie wynika z drugiego poprzez przyjęcie ideału trywialnego.. Twierdzenie to zostało sformułowane w 1929 roku przez Wolfganga Krulla i jest równoważne z aksjomatem wyboru (gdyż wykorzystuje równoważny z nim lemat Kuratowskiego-Zorna).
Poniższy dowód obowiązuje dla ideałów lewostronnych bądź w pierścieniach przemiennych dla ideałów obustronnych; obowiązuje on mutatis mutandis dla ideałów prawostronnych.
Dowód
Niech oznacza rodzinę wszystkich ideałów właściwych pierścienia zawierających ustalony ideał częściowo uporządkowaną relacją zawierania. Należy wykazać, że w niepustej rodzinie (należy do niej ) istnieje element maksymalny – jest to szukany ideał maksymalny pierścienia Niech będzie łańcuchem w wówczas jeśli to lub