Aksjomatyczną definicję przestrzeni wektorowej spełniają nie tylko skończone ciągi liczb rzeczywistych, ale też odpowiadające im wielomiany ustalonego stopnia o współczynnikach rzeczywistych, macierze ustalonego wymiaru, ciągi nieskończone, funkcje rzeczywiste, operatory różniczkowe i inne obiekty, w tym różne zbiory liczbowe.
Przestrzenie liniowe są przez to wspólnym językiem różnych dziedzin matematyki jak teoria liczb, geometria, algebra i analiza; są m.in. fundamentem analizy funkcjonalnej, a przez to narzędziem XX-wiecznej teorii równań różniczkowych, rachunku wariacyjnego, analizy harmonicznej i fizyki matematycznej. Znajdują zastosowanie w różnych naukach ścisłych i technicznych, w tym mechanice kwantowej i kryptologii. Sformalizowano je na przełomie XIX i XX wieku, w czym mieli udział Hermann Grassmann, Giuseppe Peano, Hermann Weyl i inni Jeff Miller i John Aldrich, Vector space, [w:] Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (V) , MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews, mathshistory.st-andrews.ac.uk [dostęp 2022-03-29]..
Definicja Niech będzie ciałem (np.