Historia Projekt, w którym zakładano budowę i użycie MiGa-105 nosił nazwę Spiral (znana była również nazwa EPOS'''). Rozpoczęcie prac nastąpiło w 1965, dwa lata po upadku amerykańskiego projektu X-20, choć pierwsza grupa pilotów została wybrana we wczesnych latach 1960. Jednym ze znanych pilotów wyznaczonych do samolotu MiG-105 był Gierman Titow, drugi człowiek w kosmosie i pilot pojazdu kosmicznego Wostok 2.
Projekt Spiral został zawieszony w 1969, potem na krótko przywrócony w 1974 jako odpowiedź na amerykański program Space Transportation System, zakładający loty pojazdami kosmicznymi wielokrotnego użytku, czyli wahadłowcami (z ang. Space Shuttle). Pierwszy poddźwiękowy lot samolotu MiG-105 (bez dopalacza) odbył się w roku 1976 na lotnisku Ramienskoje k. Moskwy. W sumie wykonano 8 lotów testowych tego pojazdu. W 1978 projekt Spiral został porzucony na rzecz wahadłowców Buran.