w grupie symetrii cząsteczki wody każdy element symetrii jest jednocześnie swoim elementem odwrotnym. Jeżeli działanie jest przemienne: to grupę nazywamy abelową.
Liczba operacji tworzących daną grupę nazywa się rzędem grupy W większości wypadków grupy symetrii punktowych są nieprzemienne (nieabelowe), czyli kolejność wykonywania operacji symetrii jest istotna Wyjątkiem są np. grupy cykliczne.
Zbiór liczb całkowitych z działaniem dodawania, rozumianym jako zwykłe dodawanie w arytmetyce, jest grupą abelową. Zbiór kwadratowych, nieosobliwych macierzy rzeczywistych stopnia z działaniem mnożenia, rozumianym jako mnożenie macierzy, jest grupą nieabelową.
Punktowe grupy symetrii Jedną z zalet formalizmu teorii grup w opisie symetrii cząsteczkowej jest to, że wszystkie możliwe struktury cząsteczek można łatwo zaklasyfikować do jednej ze względnie małej liczby teoretycznie dopuszczalnych grup symetrii. Grupy symetrii mają charakter punktowy, gdyż wszystkie elementy symetrii danej grupy przecinają się w jednym punkcie, który pozostaje niezmieniony bez względu na wykonywane operacje symetrii.