Reprezentacje grup Wygodną metodą formalnego przedstawienia grupy jest wykorzystanie zapisu macierzowego. Reprezentacja grupy to zbiór macierzy opisujących operacje symetrii danej grupy. Złożenie dwóch operacji symetrii opisane jest mnożeniem macierzy tych operacji. Przykładowo: grupa zawiera następujące elementy symetrii: Tabela mnożenia tej grupy wygląda następująco:
Na przykład złożenie obrotu oraz operacji inwersji daje symetrie płaszczyznowa
Ważną właściwością macierzy reprezentujących operacje symetrii jest to, iż ich ślad (suma elementów leżących na przekątnej) pozostaje niezmienny podczas wykonywania przekształceń unitarnych i podobieństwa.
Reprezentacje nieprzywiedlne Istnieje wiele możliwych reprezentacji danej grupy symetrii. Zbiór macierzy operacji symetrii o najniższych możliwych stopniach jest zbiorem reprezentacji nieprzywiedlnych danej grupy i jednoznacznie ją charakteryzuje. Znajomość macierzy operacji dla danej reprezentacji nie jest koniecznością. W praktyce wystarczy znać ślady tych macierzy, które w teorii reprezentacji są nazywane charakterami. Charaktery i inne informacje o danej grupie symetrii są zebrane w postaci tabel charakterów. Formalizm ten pozwala na bardziej intuicyjne podzielenie elementów symetrii na klasy. Np.