Formalna wypowiedź Jeżeli jest różnym od stałej wielomianem o współczynnikach zespolonych, to wszystkie zera wielomianu należą do wypukłej otoczki zbioru zer wielomianu
Dowód Dowód tego twierdzenia jest stosunkowo prosty i opiera się przede wszystkim na zasadniczym twierdzeniu algebry. Z twierdzenia tego wiemy, że każdy wielomian zespolony można rozłożyć na czynniki pierwsze postaci gdzie to pierwiastki wielomianu. Niech więc będzie wielomianem stopnia którego pierwiastki (niekoniecznie różne) to Zatem mamy
gdzie jest współczynnikiem wielomianu przy najwyższej potędze Policzmy teraz pochodną wielomianu tak zapisanego:
i podzielmy przez co daje
Niech będzie dowolnym pierwiastkiem pochodnej: Jeżeli to nie ma czego dowodzić, gdyż oczywiście wtedy należy do otoczki wypukłej zbioru Niech więc to z powyższej równości otrzymamy
co po skorzystaniu z elementarnej tożsamości daje
Biorąc teraz sprzężenie zespolone obu stron, otrzymamy
co po przekształceniu daje
Oznaczając
mamy oraz
co jest kombinacją wypukłą wektorów
Przypisy
Bibliografia K. Szyszkiewicz, R. Filipek, Metody matematyczne i numeryczne dla ceramików, Wyd. AGH, Kraków 2013.
Linki zewnętrzne Akademia Górniczo-Hutnicza, Kraków (Dodatek do skryptu, s. 12)
Gaussa-Lucasa Kategoria:Twierdzenia o wielomianach