Własności dywanu Sierpińskiego Wymiar fraktalny dywanu Sierpińskiego wynosi Pole powierzchni dywanu Sierpińskiego jest zerowe. Dowód: W kolejnych krokach konstrukcji fraktala usuwamy z każdego z kwadratów składowych środkowy kwadrat o polu 9 razy od niego mniejszym, pozostaje zaś z niego 8 kwadratów o łącznym polu równym jego pola. Niech oznacza pole zbioru Mamy zatem:
skąd:
Zatem dla dostatecznie dużych jest dowolnie małe, co oznacza, że dywan Sierpińskiego zawarty jest w figurach o dowolnie małych polach powierzchni, musi zatem mieć zerowe pole powierzchni. Dywan Sierpińskiego jest przestrzenią uniwersalną dla krzywych płaskich, tzn. każde jednowymiarowe continuum na płaszczyźnie jest homeomorficzne z podzbiorem dywanu Sierpińskiego.
Zobacz też
fraktal kostka Mengera krzywa trójkąt Sierpińskiego zbiór Cantora
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne [dostęp 2025-10-31].
Kategoria:Geometria fraktalna Kategoria:Przykłady przestrzeni topologicznych Kategoria:Polskie odkrycia matematyczne Kategoria:Figury płaskie z osią symetrii