Niech będzie funkcją daną wzorem Kolorowanie dane wzorem gdy oraz w przeciwnym przypadku, przeczy relacji podziałowej Rzeczywiście, dla każdego zbioru koloru 1, funkcja zacieśniona do zachowuje porządek, a więc każdy zbiór koloru 1 ma typ porządkowy co najwyżej (w szczególności, nie może mieć typu porządkowego bo nie zawiera takich podzbiorów). Z drugiej strony, dla każdej liczby naturalnej moc przeciwobrazu jest ściśle mniejsza od a więc nie istnieje zbiór monochoromatyczny koloru 0. □
Przykładowe zastosowanie
Z twierdzenia Erdősa-Dushnika-Millera wynika, że w zbiorze nieskończonym każde dwie relacje dobrego porządku pokrywają się na zbiorze mocy Istotnie, niech i będą dwiema relacjami dobrego porządku na Rozważmy zbiory par oraz oraz
Zbiory i stanowią partycję zbioru tj. Istnieje więc zbiór mocy dla którego bądź istnieje zbiór nieskończony dla którego Druga część alternatywy nie jest jednak możliwa, bo każdy ściśle malejący podzbiór zbioru dobrze uporządkowanego jest skończony. □
Przypisy
Bibliografia
Kategoria:Twierdzenia kombinatoryki Kategoria:Twierdzenia o nieskończonych liczbach kardynalnych