Liczba Heegnera (nazwana tak przez Conwaya i Guya) – dodatnia liczba całkowita bezkwadratowa taka że urojone ciało kwadratowe ma liczbę klas równą 1. Równoważnie jej pierścień liczb całkowitych ma jednoznaczny rozkład.
Wyznaczanie takich liczb jest przypadkiem szczególnym problemu liczby klas. Kryją się one również w kilku frapujących wynikach z teorii liczb.
Według twierdzenia (Bakera-)Starka-Heegnera jest dokładnie dziewięć liczb Heegnera: 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163.
Wynik ten został podany przez Gaussa, a udowodniony, z małymi usterkami, przez Kurta Heegnera w 1952. Alan Baker i Harold Stark niezależnie udowodnili ten wynik w 1966 (Baker opublikował swój dowód pod koniec 1966, a Stark na początku 1967). Później Stark wskazał, że luka w dowodzie Heegnera była niewielka.
Wielomian Eulera generujący liczby pierwsze Wielomian Eulera generujący liczby pierwsze
który daje różne liczby pierwsze dla jest związany z liczbą Heegnera
Formuła Eulera dla przyjmującego wartości jest równoważna z
dla przyjmującego wartości Rabinowitz udowodnił, że
daje liczby pierwsze dla wtedy i tylko wtedy, gdy ich wyróżnik jest równy ujemnej liczbie Heegnera.