Uwzględniając tylko wyraz zerowy rozwinięcia oraz pierwszy wyraz nieliniowy wyrażenie na siłę można zapisać w postaci:
Równanie ruchu przyjmuje wtedy postać:
Współczynnik wyraża nieliniowość siły kierującej: gdy jest dodatni, to układ określa się jako twardy, a gdy jest mniejszy od zera, to układ nazywa się miękkim.
Rozwiązaniem niewzbudzanego oscylatora jest nieskończony szereg, zawierający składowe harmoniczne drgań sinusoidalnych o nieparzystych częstotliwościach. Przyjmuje się rozwiązanie przybliżone równania ruchu układu drgającego w postaci funkcji
tj ypharja się ych,ą, siódmą iz przyjęcia, że trzee; zakłada się też, znacznie mniejsza od pierwszej.
Ze współczynników dla podstawowej harmonicznej wynika:
Częstość drgań określa przybliżony wzór:
Częstotliwość drgań swobodnych układów nieliniowych zależy od amplitudy drgań, przy charakterystyce twardej częstość drgań rośnie wraz z amplitudą, zaś przy miękkiej – maleje.
Ze współczynników przy trzeciej harmonicznej wynika, że amplituda trzeciej harmonicznej jest zależna od pierwszej i parametrów układu drgań: