Operator sprzężony do operatora Fredholma jest również operatorem Fredholma oraz . Takie same relacje zachodzą dla operatorów sprzężonych do operatorów Fredholma działających między przestrzeniami Hilberta.
Indeks Fredholma jest niezmienniczy ze względu na dodawanie operatorów zwartych, tzn. jeżeli jest operatorem Fredholma, a jest operatorem zwartym, to jest również operatorem Fredholma oraz Ogólniej, jeżeli jest operatorem Fredholma a jest operatorem ściśle singularnym, to jest również operatorem Fredholma oraz T. Kato, Perturbation theory for the nullity deficiency and other quantities of linear operators, „J. d’Analyse Math” 6 (1958), s. 273–322..
Przykład Niech będzie przestrzenią Hilberta z bazą ortonormalną indeksowaną liczbami naturalnymi z zerem. Niech będzie operatorem przesunięcia w prawo, tj.
Wówczas jest różnowartościowy, tj. wymiar jądra wynosi 0 ( jest ponadto izometryczny) oraz jego kojądro ma kowymiar 1, a więc jest operatorem Fredholma o indeksie Kolejne potęgi są operatorami Fredholma o indeksie Operatorem sprzężonym do jest operator przesunięcia w lewo:
Operator jest więc operatorem Fredholma o indeksie 1.
Przypisy
Bibliografia
Kategoria:Teoria operatorów na przestrzeniach Banacha