Rząd w grupie multiplikatywnej modulo n – w teorii liczb, najmniejsza dodatnia liczba całkowita , taka, że dla ustalonych liczb a, n, które są względnie pierwsze (przy czym a jest liczbą całkowitą, a n – dodatnią liczbą całkowitą), zachodzi:
Innymi słowy, rząd elementu a w grupie multiplikatywnej modulo n to rząd a jako elementu grupy multiplikatywnej w pierścieniu liczb całkowitych modulo n.
Rząd modulo oznacza się zwykle:
.
Przykład Mamy następujące potęgi 4 modulo 7:
Najmniejszą dodatnią liczbą całkowitą taką, że jest 3, czyli .
Własności Nawet bez odwoływania się do pojęcia grupy multiplikatywnej modulo n, można wykazać, że element faktycznie posiada rząd. Wynika to z faktu, że kolejne potęgi mogą przyjmować jedynie skończoną liczbę różnych wartości modulo .
Zatem, zgodnie z zasadą szufladkową Dirichleta, muszą istnieć dwie potęgi oraz (przy czym bez straty ogólności można założyć, że ), dla których zachodzi kongruencja:
.
Ponieważ oraz są względnie pierwsze, element posiada element odwrotny modulo . Można więc obustronnie wymnożyć powyższą kongruencję przez , uzyskując:
.