Twierdzenie Łuzina – jedno z podstawowych twierdzeń teorii miary dotyczące przybliżania funkcji mierzalnych na prostej rzeczywistej (bądź ogólniej, na przestrzeniach z miarą Radona) przez funkcje ciągłe. Twierdzenie opublikowane w 1912 przez ŁuzinaN. Lusin. Sur les propriétés des fonctions mesurables, Comptes Rendus Acad. Sci. Paris 154 (1912), 1688–1690.. Littlewood wypowiedział nieformalnie twierdzenie Łuzina w następujący sposób: funkcje mierzalne są niemal ciągłe (zob. trzy zasady analizy rzeczywistej Littlewooda).
Klasyczna wersja Niech
będzie funkcją mierzalną. Wówczas dla każdego istnieje taki zbiór zwarty że zawężenie jest funkcją ciągłą oraz
przy czym oznacza miarę Lebesgue’a.
Wersje ogólne Wersja dla przestrzeni polskich Niech będzie przestrzenią polską ze skończoną miarą borelowską oraz niech będzie przestrzenią topologiczną spełniającą drugi aksjomat przeliczalności. Jeżeli
jest funkcją mierzalną, to dla każdego istnieje taki zbiór zwarty że
oraz restrykcja jest funkcją ciągłą.
Wersja dla przestrzeni lokalnie zwartych Niech będzie przestrzenią lokalnie zwartą z miarą borelowską, która przyjmuje skończone wartości na zbiorach zwartych oraz jest wewnętrznie regularna na zbiorach otwartych, tj.