200px|thumb|right|Diagrama de Cayley d'o grupo libre d'orden dos. thumb|200px|As posibles manipolacions d'o cubo de Rubik forman un grupo. A teoría de grupos ye a branca de l'alchebra que estudeya os grupos. Un grupo ye una estructura alchebraica que consta d'un conchunto que ye definito chunto con una operación que combina cualsiquier parella d'os suyos elementos ta formar un tercer elemento. Debito a que se pueden calificar como un grupo, o conchunto y operación han de satisfer unas cuantas condicions ditas axiomas de grupo, istas condicions son: tener a propiedat asociativa, tener elemento identidat y elemento inverso. Mientres que istas caracteristicas son familiars a muitas estructuras matematicas, como os diferents sistemas de numeros (por eixemplo os enters dotatos d'a operación d'adición forman una estructura de grupo) a formulación d'os axiomas se desepara d'a naturaleza concreta d'o grupo y o suyo funcionamiento. Ixo permite, en alchebra abstracta y altros campos, maniar entidaz d'orichens matematicos muit diferents d'una manera flexible, mientres se conservan aspectos estructurals esencials de muitos obchectos. A utilidat d'os grupos en numerosas arias (tanto adintro como difuera d'as matematicas) fa d'éls un prencipio central arredol d'o cual s'organizan as matematicas contemporanias.Herstein, 1975 §2, p. 26Hall, 1967 §1.1, p. 1: "The idea of a group is one which pervades the whole of mathematics both pure and applied."
Os grupos tienen una relación muit estreita con a noción de simetría. Un grupo de simetría codifica as caracteristicas de simetría d'un obchecto cheometrico: consiste en o conchunto de transformacions que deixan inalterato l'obchecto, y a operación de combinar dos d'istas transformacions realizando-ne una dimpués de l'atra. Istos grupos de simetría, mas que mas os grupos de Lie continos, chugan un papel important en muitas disciplinas academicas. Os grupos de matrices, por eixemplo, se pueden fer servir ta entender as leis fisicas fundamentals en que se basan a relatividat y os fenomenos de simetria en a quimica molecular.
O concepto d'un grupo apareixió con o estudio d'as ecuacions polinomicas, prencipiato por Évariste Galois mientres os anyos 1830. Dimpués de contribucions dende atros campos como a teoría de numeros y a cheometría, la noción de grupo se cheneralizó y s'establió ta cutio arredol de 1870. A moderna teoría de grupos (una disciplina matematica muit activa) estudeya os grupos per se.En Mathematical Reviews apareixen 3.224 articlos de rechira sobre teoría de grupos y as suyas cheneralizacions escritos en l'anyo l'any 2005 Ta esplorar os grupos, os matematicos han ideyato diversas nocions como dividir os grupos en trozos mas chicoz y mas comprensibles, como los subgrupos, grupos cocients y grupos simples. Amás d'as suyas propiedaz abstractas, os teoricos d'os grupos tamién estudeyan as formas diferents en que un grupo se puet expresar en forma concreta (as suyas representacions de grupo), tanto dende un punto d'envista teorico como d'un punto d'envista computacional. Una teoría muit rica s'ha desarrollato ta os grupos finitos, que remató con a clasificación d'os grupos simples finitos rematata en 1983.
Definición y ilustración Un primer eixemplo: os enters Un d'os grupos mas familiars ye o conchunto d'os numeros enters Z que consiste en os numeros
..., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, ...Lang, 2005, App. 2, p. 360
As propiedaz siguients de l'adición d'enters sirven como modelo ta os axiomas de grupo abstractos que se dan en definición mas entabant.
Ta cualsiquier parella d'enters a y b, a suma a + b ye tamién un entero. En atras parolas, o proceso d'adición d'enters nunca no puet producir un resultato que no sía un entero. Ista propiedat se conoixe como clausura respecto de l'adición. Ta toz os enters a, b y c, (a + b) + c = a + (b + c). Exprisato en parolas, sumando primero a y b, y dimpués sumando lo resultato con c da o mesmo resultato final que sumando a a lo resultato de sumar b y c, ista propiedat se conoixe como propiedat asociativa. Si a ye un entero cualsiquiera, allora 0 + a = a + 0 = a. D'o zero se'n diz que ye o elemento neutro u identidat de l'adición porque en sumar-lo a cualsiquier entero da o mesmo entero. Ta cada entero a, bi ha un entero b tal que a + b = b + a = 0. O entero b se diz elemento inverso u simetrico d'o entero a y se denota −a.
Introducción Os enters, chunto con a operación "+", forman un ochecto matematico que perteneixe a una clase ampla en la que bi ha atros obchectos que comparten aspectos estructurals similars. Ta entender bien istas estructuras sin tratar con cada caso concreto deseparato, se desarrolla la definición abstracta siguient que incluye l'eixemplo citato chunto con muitos atros, un d'os cuals ye o grupo de simetría que se detalla mas entabant
Un grupo ye un conchunto, G, chunto con una operación binaria "•" que combina dos elementos cualsiquiera a y b de G ta formar unatro elemento denotato a • b. O simbolo "•" ye un elemento cheneral ta representar una operación cualsiquiera, como l'adición en l'eixemplo anterior. Ta poder-se calificar como un grupo, lo conchunto y a operación (G, •), han de satisfer cuatre requisitos conoixitos como los axiomas de grupo:Herstein, 1975 §2.1, p. 27 {| | 1. ||width="150pt"| Clausura. || Ta tot a, b de G, o resultato d'a operación a • b tamién perteneixe a G.L'axioma de clausura ya viene implicito por a condición de que • sía una operación. Por ixo bels autors omiten iste axioma. Lang 2002 |- | 2. || Propietat asociativa. || Ta toz a, b y c de G, se cumple a ecuación (a • b) • c = a • (b • c). |- | 3. || Elemento identidat. || Existe un elemento e de G, tal que ta toz os elementos a de G, se cumple a ecuación y • a = a • y = a. |- | 4. || Elemento inverso. || Per a tot a de G, existe un elemento b de G tal que a • b = b • a = y, a on que y ye l'elemento identidat.
L'orden en que se fa la operación de grupo puet estar significativo. En atras parolas, o resultato d'operar o elemento a con o elemento b no tien por qué dar o mesmo resultato que operando b con a; a ecuación a • b = b • a puet no estar siempre cierta. Ista ecuación siempre se cumple en o grupo d'enters con l'adición, porque a + b = b + a ta dos enters cualsiquiera (propiedat commutativa de l'adición). Manimenos, no se cumple siempre en o grupo de simetria que apareixe en l'eixemplo de mas entabant. Os grupos ta os que a ecuación a • b = b • a se cumple siempre se dicen abelians (en honor a Niels Abel). Asinas, o grupo d'os enters con l'adición ye abelián, pero lo grupo de simetría siguient no'n ye.
Definición de grupo Un grupo ye un conchunto G en o que s'ha definito una lei de composición interna que satisfa os siguients axiomas: Asociatividat: Elemento neutro: Elemento simetrico:
Por tanto, un grupo ye formato por un conchunto d'obchectos abstractos u simbolos, y por una lei de composición interna que los relaciona. Dita lei de composición interna indica como han d'estar manipulatos os obchectos d'o grupo.
Se diz que un grupo ye abelián u conmutativo cuan berifica amás a propiedat conmutativa:
Notación Se charra de notación aditiva cuan se representa la lei de composición interna como "", y l'elemento neutro como "0". D'atra man, a notación multiplicativa ye aquella en a que a lei de composición interna se representa como "", u "", y l'elemento neutro como "1".
Un segundo eixemplo: grupo de simetría As simetrias (ye decir, as rotacions y as reflexions) d'un cuadrato forman un grupo dito grupo diedrico, y se denota D4.Herstein, 1975 §2.6, p. 54 Tien as siguients simetrías: 140px id (deixar-lo como yera) 140px r1 (rotación de 90° a la dreita) 140px r2 (rotación de 180° a la dreita) 140px r3 (rotación de 270° a la dreita) 140px fv (reflexión vertical) 140px fh (reflexión orizontal) 140px fd (reflexión diagonal) 140px fc (reflexión contradiagonal) Os elementos d'o grupo de simetría d'o cuadrato (D4). Os vertices se debuixan y se numeran nomás ta visualizar as operacions. A operación identidat que lo deixa tot tal como yera, denotata id; rotacions d'o cuadrato de 90° a la dreita, 180° a la dreita, y 270° a la dreita, denotatas r1, r2 y r3, respectivament; reflexions respecto d'os exes vertical y horizontal (fv y fh), u respecto d'as dos diagonals (fd y fc).
Dos simetrías cualsiquiera a y b se pueden composar, ye decir aplicar una dimpués de l'atra. O resultato de fer primero a y dimpués b s'escribe simbolicament d'ezquierda ta dreita como b • a ("aplicar a simetría b dimpués d'haber aplicato a simetría a". A notación de dreita ta ezquierda proviene d'a notación ta la composición de funcions). A tabla de grupo a la dreita presenta os resultatos de totas as composicions posibles. Por eixemplo, chirar 270° a la dreita (r3) y dimpués fer una reflexión horizontal (fh) ye o mesmo que fer una reflexión a lo largo d'a diagonal (fd). Emplegando los simbolos citatos, apareixe en azul en a tabla de grupo: fh • r3 = fd.
+ Tabla de grupo de D4 • id r1 r2 r3 fv fh fd fc id id r1 r2 r3 fv fh fd fc r1 r1 r2 r3 id fc fd fv fh r2 r2 r3 id r1 fh fv fc fd r3 r3 id r1 r2 fd fc fh fv fv fv fd fh fc id r2 r1 r3 fh fh fc fv fd r2 id r3 r1 fd fd fh fc fv r3 r1 id r2 fc fc fv fd fh r1 r3 r2 id Os elementos: id, r1, r2, y r3 forman un subgrupo, se puet veyer en royo (rechión d'a ezquierda superior). Una clase lateral ezquierda y dreita d'iste subgrupo se presenta en berde (en a zaguera ringlera) y amariello (zaguera columna), respectivament. Datos istos conchuntos de simetrías y a operación descrita, os axiomas de grupo se pueden entender d'a manera siguient:
1. L'axioma de clausura necesita que a composición b • a de dos simetrías cualsiquiera a y b sía tamién una simetría. Unatro eixemplo ta la operación de grupo ye r3 • fh = fc, ye decir chirar 270° a la dreita dimpués d'una reflexión horizontal ye igual a una reflexión a lo largo d'a contradiagonal (fc). En efecto cada dos combinacions de dos simetrías dan una simetría, como se puet comprebar fendo servir a tabla de grupo.
2. A condición d'asociatividat trata de composar mas de dos simetrías: datos tres elementos a, b y c de D4, bi ha dos maneras posibles de calcular "a allora b allora c". O requisito (a • b) • c = a • (b • c) quiere decir que a composición d'os tres elementos ye independient d'a prioridat d'as operacions, ye decir, composando a con b, y dimpués c con a • b equivale a fer a dimpués d'a composición de b y c. Por eixemplo (fd • fv) • r2 = fd • (fv • r2) como se puet comprebar fendo servir a tabla de grupo d'a dreita {|style="text-align:center"| |(fd • fv) • r2|| = ||r3 • r2|| = ||r1, que ye igual a |- |fd • (fv • r2)|| = ||fd • fh|| = ||r1.
3. L'elemento identidat ye a simetría id que lo deixa tot inalterato: ta cualsiquier simetría a, realizando id dimpués de a (o a dimpués de id) ye igual a a, de forma simbolica, id • a = a, a • id = a.
4. n elemento inverso desfa la transformación de belatro elemento. Totas as simetrías se pueden esfer: cada una d'as transformacions: id, fh, fv, fd, fc y r2 son a suya propia inversa, porque actuando cadaguna dos vegatas levan o cuadrato a la suya orientación orichinal. As rotacions r3 y r1 son a inversa una de l'atra, porque chirando enta un canto y dimpués o mesmo anglo enta l'atro canto deixa a lo cuadrato inalterato. En simbolos, fh • fh = id, r3 • r1 = r1 • r3 = id.
A diferencia con o grupo d'enters anterior, a on que l'orden d'a operación ye irrelevant, en D4 sí que importa: fh • r1 = fc pero r1 • fh = fd. En atras parolas, D4 no ye abelián, ixo fa la estructura d'o grupo mas dificil que la d'os enters presentata antis.
Mas eixemplos , o conchunto de numeros enters con a suma usual, ye un grupo abelián; a on que l'elemento neutro ye o 0, y o simetrico de x, ye -x. , o conchunto d'os numeros reals con a suma usual, ye un grupo abelián; a on que l'elemento neutro ye o 0, y o simetrico de x, ye -x.