N'analís matemáticu, usualmente, el llogaritmu d'un númberu real positivu —nuna base de llogaritmu determinada— ye'l esponente al cual hai qu'alzar la base pa llograr dichu númberu. Por casu, el llogaritmu de 1000 en base 10 ye 3, porque 1000 ye igual a 10 a la potencia 3: 1000 = 10³ = 10×10×10.
De la mesma manera que la operación opuesta de la suma ye la resta y la de la multiplicación la división, el cálculu de llogaritmos ye la operación inversa a la exponenciación de la base del llogaritmu.
Pa representar la operación de llogaritmu nuna determinada base escríbese l'abreviatura log y como subíndice la base y dempués el númberu resultante del que deseyamos topar el llogaritmu. Por casu, 3⁵=243 depués log3243=5. Cuando se sobrentiende la base, puede omitise.
Los llogaritmos fueron introducíos por John Napier a principios del sieglu XVII como un mediu de simplificación de los cálculos. Estos fueron prontamente adoptaos por científicos, inxenieros, banqueros y otros pa realizar operaciones fácil y rápido, usando regles de cálculu y tables de llogaritmos. Estos dispositivos basar nel fechu más importante — por identidaes logarítmiques — que'l llogaritmu d'un productu ye la suma de los llogaritmos de los factores:
La noción actual de los llogaritmos vien de Leonhard Euler, quien conectó estos cola función esponencial nel sieglu XVIII.
Definiciones Si los númberos a y b son positivos, b la base distinta a 1 y a 0. va dicise que'l llogaritmu d'a na base b ye h si cumplir que Llogaritmu puede ser definíu de diverses maneres: como esponente, cuando se conocen la base d'una potencia y el valor d'esta; tal el casu si :, como resuelve la ecuación, dizse que -4 ye'l llogaritmu de 1/16 en base 2. O bien .G. M. Bruño. Elementos d'álxebra. Madrid. Esíxese que la base de llogaritmos seya un númberu positivu distintu de 1. Usualmente consideróse como base, 10: aniciando los llogaritmos decimales o vulgares. O bien la base, el númberu y: xenerando los llogaritmos naturales o neperianos. Como una función real de variable real. Concretamente, considerando que la función esponencial ye una función creciente y continuo de dominiu ℝ y codominio ℝ+, pos tien función inversa de dominiu ℝ+, y codominio ℝ, que tamién ye creciente y continua pa base mayor que 1.Taylor- Wade. Matemática básica Por integral definida que se llee llogaritmu natural d'a, nesti casu la base de los llogaritmos ye'l númberu irracional trascendente y que ye la llende de cuando n tiende a infinitu.Haasser- La Salle- Sulivan. Analís matemáticu I, Editorial Tríes, Méxicu D. F.
Dau un númberu real (argumentu x), la función llogaritmu asígna-y l'esponente n (o potencia) a la qu'un númberu fixu b (base) haber d'alzar pa llograr dichu argumentu. Ye la función inversa de b a la potencia n. Esta función escríbese como: n = logb x, lo que dexa llograr n.
(esto lléese como: llogaritmu en base b de x ye igual a n; si y namái si b eleváu a la n da por resultáu a x)
Por que la definición seya válida, non toles bases y númberos son posibles. La base b tien que ser positiva y distinta de 1, depués b> 0 y b ≠ 1, x tien que ser un númberu positivu x > 0 y n puede ser cualquier númberu real (n ∈ R).
Asina, na espresión 10² = 100, el llogaritmu de 100 en base 10 ye 2, y escríbese como log10 100 = 2.
Propiedaes xenerales Los llogaritmos, independientemente de la base escoyida, cumplen una serie de propiedaes comunes que los caractericen. Asina, llogaritmu de la so base ye siempres 1; logb b = 1 yá que b1 = b. El llogaritmu de 1 ye cero (independientemente de la base); logb 1=0 yá que b0 = 1.
Si'l númberu real a alcuéntrase dientro del intervalu 0 < a < 1 entós logb a da un valor negativu o se diz que ye un llogaritmu negativu. Rescampla, yá que si llogaritmu de 1 ye cero, entós valores reales menores qu'unu van ser negativos por ser la función logarítmica puramente creciente y que'l so imaxe d'una función percorríu ye (-∞, +∞). Tamién usando la identidá logarítmica logb(x/y)=logb x - logb y; yá que a pertenez al intervalu 0 < a < 1, el so inversu a-1 va ser mayor qu'unu, colo que logb(a)=logb(1/a-1) = logb 1 - logb(a-1)= -logb(a-1).
Los númberos negativos nun tienen llogaritmu nel cuerpu de los reales R, yá que sía'l que quier l'esponente n, va tenese siempres que bn va ser mayor que cero, bn > 0; arriendes d'ello, nun hai nengún valor real de n que pueda satisfacer bn = x cuando x seya menor que 0. Sicasí, esta torga puede salvase, ampliando'l dominiu de definición al cuerpu de los númberos complexos C, pudiendo calcular llogaritmos de númberos negativos usando'l llogaritmu complexu o recurriendo a la fórmula d'Euler.
Les potencies consecutives d'una base formen una progresión xeométrica y la de los esponentes una progresión aritmética. Por casu, les potencies de 2 son 1,2,4,8,16,32,64,..., etc. y los sos esponentes van ser 0, 1, 2, 3, 4,..., etc. yá que 2⁰ = 1, 2¹ = 2, 2² = 4, 2³ = 8, y 2⁴ = 16, etc. depués log2 1 = 0, log2 2 = 1, log2 4 = 2, log2 8 = 3 y log2 16 = 4, etc.
Propiedaes alxebraiques
Nesta parte destácase la capacidá operativa del usu de llogaritmos nel sentíu d'operaciones coligadas; por aciu llogaritmos, una operación convertir n'otra operación de menor nivel. Por casu, un productu de n factores amenorgar a una adición de n sumandos.Etc.
Verdaderamente, les siguientes proposiciones funcionen como identidaes pa los valores del so dominiu de definición. Sicasí, l'ésitu de la invención y usu de los llogaritmos, xustamente, anició en poder convertir productos en sumes; cocientes en restes; potencia en productu y raigañu de grau n nun cociente. Esti fechu dexa dicir que, nel so momentu, l'usu de llogaritmos produció un cambéu revolucionariu nos cálculos, emplegaos na astronomía, navegación y matemática financiera aplicada a la banca y los negocios colaterales.Kasner- Newman: Maemñática ya imaxinación Los llogaritmos caltienen ciertes identidaes aritmétiques bien útiles a la de realizar cálculos: El llogaritmu d'un productu ye igual a la suma de los llogaritmos de los factores.
El llogaritmu d'un inversu multiplicativu ye l'inversu aditivu del llogaritmu:
El llogaritmu d'un cociente ye igual al llogaritmu del numberador menos el llogaritmu del denominador.
El llogaritmu d'una potencia ye igual al productu ente l'esponente y el llogaritmu de la base de la potencia.
El llogaritmu d'un raigañu ye igual al productu ente la inversa del índiz y el llogaritmu del aniciando.
En realidá la cuarta y quinta identidá son equivalentes, ensin más que faer:
Seleición y cambéu de base Ente los llogaritmos más utilizaos alcuéntrase'l llogaritmu natural, que la so base ye e, base 10 (llogaritmu común), base 2 (llogaritmu binariu), o en base indefinida (llogaritmu indefiníu). La eleición d'un determináu númberu como base de los llogaritmos nun ye crucial, yá que toos son proporcionales ente sigo. Ye útil la siguiente fórmula que define al llogaritmu de x en base b (suponiendo que b, x, y k son númberos reales positivos y que tanto b como k son distintos de 1):
na que k ye cualquier base válida. Si faemos k=x, vamos llograr:
Base potencia si
Jimmy Gracía et al. Resume Teóricu Matemátiques y Ciencies. Fondu editorial Rodó. Lima (2013)
Por aciu desigualdaes
Adautación del llibro «Elementos d'analís matemáticu» de S.M. Nikolski. Editorial Mir, Moscú (1984)
Si a > 1 cumplir que log b + logb10 ≥ 2. Sicasí si 0<b<1, cabo la desigualdá log b + logb10 ≤ -2.Puede comprobar por aciu una calculadora
Emplegos El llogaritmu más llargamente utilizáu ye'l natural, yá que tien ensame d'aplicaciones en física, matemátiques, inxeniería y en ciencies polo xeneral. Tamién ye bastante utilizáu'l llogaritmu decimal, que s'indica como , en ciencies que faen usu de les matemátiques, como la química na midida de l'acidez (denomada pH) y en física en magnitúes como la midida de la lluminosidá (candela), d'intensidá de soníu (dB), de la enerxía d'un terremotu (escala sismolóxica de Richter), etc. N'informática usa'l llogaritmu en base 2 la mayoría de vegaes.
Propiedaes analítiques Un estudiu más fondu de los llogaritmos requier'l conceutu de función. Un exemplu ye la función que produz la x-ésima potencia de b pa cualquier númberu real x, onde la base (o raigañu) b ye un númberu fixu. Esta función escríbese como
Función logarítmica Pa garantizar la definición de llogaritmos, ye necesariu demostrar que pa la ecuación esponencial
esiste una única solución x , asumiendo que y que b nun ye solución de la ecuación . Una demostración d'esti fechu requier del teorema del valor entemediu del cálculu elemental. Esti teorema establez qu'una función continua que produz dos valores m y n tamién produz cualquier valor que s'atope ente m y n. Una función ye continua si esta nun salta», esto ye, si'l so gráficu puede ser escritu ensin llevantar el llapiceru del papel.
Esta propiedá puede demostrase que se cumple pa la función f(x) = bx. Yá que f toma arbitrariamente valores grandes positivos y valores pequeños positivos, cualquier númberu que s'atopa ente f(x0) y f(x1) pa un fayadizu x0 y x1. Poro, el teorema del valor entemediu asegura que la ecuación f(x) = y tien una solución. Entá más, hai namái una solución pa esta ecuación, yá que la función f ye puramente creciente (pa ), o puramente decreciente (pa ).
La única solución x ye'l llogaritmu de y na base b, logb(y). La función qu'asigna a cada y el so llogaritmu llámase función logaritmo o función logarítmica (o llogaritmu a seques).
Función inversa right|thumb|Gráficu de la función logarítmica logb(x) (azul) llograr por aciu reflexón del gráficu de la función bx (colorada) sobre la llinia diagonal (x = y).|alt=The graphs of two functions. La fórmula pal llogaritmu d'una potencia diz en particular que pa cualquier númberu x, : En llinguaxe llanu, tomando la potencia de b y depués el llogaritmu vuelve llograse x. De manera contraria, dau un númberu positivu y, la fórmula : diz que tomando primero'l llogaritmu y dempués exponenciando vuelve llograse y. Asina, los dos maneres posibles de combinar (o componer) llogaritmos y esponenciales vuelve dar el númberu orixinal. Poro, el llogaritmu en base b ye la función inversa de ., section 1.6
Les funciones inverses tán íntimamente rellacionaes coles funciones orixinales. Los sos Gráfica d'una función gráficos correspuéndense l'unu col otru por aciu l'intercambiu de les coordenaes x y y (o por reflexón sobre la llinia diagonal x = y), como s'amuesa na figura de la derecha: un puntu (t, o = bt) sobre'l gráficu de f apurre un puntu (o, t = logbo) sobre'l gráficu del llogaritmu y viceversa.
Crecedera o decrecimiento de la función De resultes, logb(x) tiende a + infinitu (faise más grande que cualquier númberu dau) si x avera a + infinitu, siempres que b seya mayor que 1. Nesi casu, logb(x) ye un función creciente. Pa , logb(x) tiende a menos infinitu en llugar d'a infinitu. Cuando x averar a cero, logb(x) tiende a menos infinitu pa (a más infinitu cuando , respeutivamente). Sía que non, y pa tou valor apropiáu de la base b, la gráfica de la función logarítmica curtia a la exa de les ascises nel puntu (1,0).
Derivada ya integral indefinida right|thumb|220px|El gráficu del llogaritmu natural (verde) y la so tanxente en (negru)|alt=A graph of the logarithm function and a line touching it in one point. Les propiedaes analítiques de les funciones pasen a les sos inverses. Asina, como f(x) = bx ye una función continua y diferenciable, tamién lo será logb(y). Toscamente falando, una función continua ye diferenciable si'l so gráficu nun tien «trazos apuntiaos». Entá más, como la derivada de f(x) evaluada en ln(b)bx poles propiedaes de la función esponencial, la regla de la cadena implica que la derivada de logb(x) ye dada por