thumb|250px|Curves de potencial nun sistema de dos cuerpos (equí'l Sol y la Tierra), amosando los cinco puntos de Lagrange. Les fleches indiquen pindies alredor de los puntos L – averándose o alloñar d'ellos. Contra la intuición, los puntos L4 y L5 son Estremos d'una función máximos.
Los puntos de Lagrange, tamién denominaos puntos L o puntos de llibración, son los cinco asities nun sistema orbital onde un oxetu pequeñu, solo afeutáu pola gravedá, pue tar teóricamente estacionariu al respeutive de dos oxetos más grandes, como ye'l casu d'un satélite artificial con al respeutive de la Tierra y la Lluna. Los puntos de Lagrange marquen les posiciones onde l'atraición gravitatoria combinada de les dos mases grandes apurre la fuercia centrípeta necesaria pa rotar sincrónicamente cola menor d'elles. Son análogos a les órbites geosincrónicas que dexen a un oxetu tar nuna posición fixa» nel espaciu en llugar d'en una órbita en que la so posición relativa camuda de cutio.
Una definición más precisa pero téunica ye que los puntos de Lagrange son les soluciones estacionaries del problema de los trés cuerpos acutáu a órbites circulares. Si, por casu, tiénense dos cuerpos grandes en órbita circular alredor de la so centru de masas común, hai cinco asities nel espaciu onde un tercer cuerpu, de masa despreciable frente a la de los otros dos, pue tar asitiáu y caltener la so posición relativa al respeutive de los dos cuerpos grandes. Vistu dende un sistema de referencia xiratoriu que rota col mesmu periodu que los dos cuerpos co-orbitales, el campu gravitatoriu de dos cuerpos grandes combináu cola fuercia centrífuga compensar nos puntos de Lagrange, dexando al tercer cuerpu caltenese estacionariu con al respeutive de los dos primeros.
Historia y conceutos
En 1772, el matemáticu italofrancés Joseph-Louis Lagrange taba trabayando nel célebre problema de los trés cuerpos cuando afayó una interesante peculiaridá. Orixinalmente, trataba d'afayar una manera de calcular fácilmente la interaición gravitatoria d'un númberu arbitrariu de cuerpos nun sistema. La mecánica newtoniana determina qu'un sistema asina xira caóticamente hasta que, o bien se produz un choque, o dalgunu de los cuerpos ye espulsáu del sistema y llógrase l'equilibriu mecánicu. Ye bien bono de resolver el casu de dos cuerpos qu'orbiten alredor del centru común de gravedá. Sicasí, si introduz un tercer cuerpu, o más, los cálculos matemáticos son bien complicaos, al ser una situación na que se tendría que calcular la suma de toles interaiciones gravitatories sobre cada oxetu en cada puntu a lo llargo de la so trayeutoria.
Sicasí, Lagrange quería faer esto más senciellu, y llograr por aciu una simple hipótesis: La trayeutoria d'un oxetu determinar atopando un camín qu'embriva l'aición col tiempu. Esto calcúlase substrayendo la enerxía potencial de la enerxía cinética. Desenvolviendo esta hipótesis, Lagrange reformuló la mecánica clásica de Newton pa dar llugar a la mecánica lagrangiana. Cola so nueva forma de calcular, el trabayu de Lagrange llevar a plantegar la hipótesis d'un tercer cuerpu de masa despreciable n'órbita alredor de dos cuerpos más grandes que yá tuvieren xirando de la mesma n'órbita cuasi circular. Nun sistema de referencia que xira colos cuerpos mayores, atopó cinco puntos fixos específicos nos que'l tercer cuerpu, al siguir la órbita de los de mayor masa, tópase sometíu a fuercia cero. Estos puntos fueron llamaos puntos de Lagrange nel so honor.
Nel casu más xeneral d'órbites elíptiques nun hai yá puntos estacionarios sinón que más bien se trata d'un área» de Lagrange. Los puntos de Lagrange socesivos, considerando órbites circulares en cada intre, formen órbites elíptiques estacionaries, geométricamente asemeyaes a la órbita de los cuerpos mayores. Esto debe a la segunda llei de Newton (), ónde p = mv (p ye la cantidá de movimientu, m la masa y v la velocidá). p ye un invariante si la fuercia y posición multiplicar por un mesmu factor. Un cuerpu nun puntu de Lagrange orbita col mesmu periodu que los dos cuerpos grandes nel casu circular, implicando, como asocede, que tienen la mesma proporción ente fuercia gravitatoriu y distancia radial. Esti fechu ye independiente de la circularidá de les órbites ya implica que les órbites elíptiques descrites polos puntos de Lagrange son soluciones de la ecuación de movimientu del tercer cuerpu.
Entueyos a les lleis de Kepler
Tanto la Tierra como'l Sol inflúyense mutuamente al traviés de les sos fuercies gravitacionales. Esto fai que, magar el Sol causa marees sobre la Tierra, esta de la mesma causa perturbaciones nel movimientu del Sol. De fechu dambos cuerpos (el sistema Sol-Tierra) muévense alredor del puntu llamáu centru de mases o baricentru, que ta allugáu cerca del centru del Sol por cuenta de la distinta masa de dambos cuerpos y la bien de mayor influencia del Sol por cuenta de la so masa. Nel casu del sistema Sol-Xúpiter, el baricentru atópase cerca de la superficie solar. Per otra parte, por cuenta de que la masa d'un satélite artificial ye insignificante respectu de los cuerpos mentaos, la so masa nun tien influencia significativa sobre'l baricentru de los trés.
Les lleis de Kepler describen de forma simple'l comportamientu de dos cuerpos qu'orbiten unu alredor del otru. La tercer llei que diz que'l cuadráu del so periodu orbital (tiempu que tarda en dar una vuelta alredor del Sol) ye direutamente proporcional al cubu de la distancia media col Sol. Por esta razón, l'aumentu del radiu da llugar a una medría del periodu orbital, por tanto, dos cuerpos asitiaos a distintes distancies del Sol nunca van tener un movimientu sincronizáu.
Les simplicidaes de les lleis de Kepler nun son válides si tener en cuenta les interaiciones de dellos cuerpos en llugar de dos o trés, como asocede nel sistema solar. Inclusive si considerárase solo un grupu de trés, el Sol, la Tierra y un satélite artificial, les predicciones complíquense. Asina, un satélite asitiáu na llinia Sol-Tierra y ente ellos tendría de tener un periodu orbital menor d'un añu, pero si ta a la distancia de 1,5 millones de km de la Tierra, no que depués se llamará L1, l'atraición de la Tierra mengua l'atraición solar y el so periodu ye'l mesmu que'l de la Tierra. Menor alloña nun significa menor periodu.
Los puntos de Lagrange thumb|250px|Diagrama qu'amuesa los cinco puntos de Lagrange nun sistema de dos-cuerpos de masa bien distinto (por casu el Sol y la Tierra). Nun sistema asina, L4–L5 paez que xiren na mesma órbita que'l cuerpu segundu, anque de fechu facer llixeramente más alloñáu del primeru. Los cinco puntos lagrangianos llámense y definen como sigue:
El puntu L1 El puntu L1 ta ente les dos mases grandes M1 y M2 na recta que les xune. Ye'l más intuitivu de los puntos de Lagrange, aquel en que les atraiciones opuestes de los dos cuerpos mayores compénsense.
Exemplu: un oxetu qu'orbite alredor del Sol más cerca que la Tierra tendría un periodu orbital más curtiu que la Tierra, pero eso ignora l'efeutu d'atraición gravitatoria de la Tierra. Si l'oxetu ta direutamente ente la Tierra y el Sol, entós l'efeutu de la gravedá de la Tierra ye'l de debilitar la fuercia que tira del oxetu escontra'l Sol y, poro, aumenta'l periodu orbital del oxetu. Cuanto más cerca ta l'oxetu de la Tierra, mayor ye esti efeutu. Nel puntu L1, el periodu orbital del oxetu ye precisamente igual al periodu orbital de la Tierra. Esti puntu atopar a de la tierra.Páxina web de divulgación Astronoo. Artículu tituláu «Los puntos de Lagrange L1 L2 L3 L4 L5» Consultáu'l 23nov14
El puntu L1 del sistema Sol-Tierra ye ideal pa faer observaciones del Sol. Los oxetos equí asitiaos nunca son clisaos pola Tierra o la Lluna. La sonda espacial Observatoriu Solar y de la Helioesfera (SOHO) ta aparcada nel puntu L1, y el satélite Advanced Composition Explorer (ACE) ta nuna órbita Lissajous alredor tamién del puntu L1. El puntu L1 del sistema Tierra-Lluna dexa un accesu fácil a la órbita llunar y de la Tierra con un mínimu cambéu de velocidá, delta-v, y sería ideal pa una estación espacial tripulada asitiada a mediu camín pensada p'ayudar al tresporte de carga y personal escontra y dende la Lluna.
El puntu L2 thumb|250px|Diagrama del sistema Sol-Tierra, qu'amuesa'l puntu L2, más alloñáu que la órbita llunar. El puntu L2 ta na llinia definida poles dos mases grandes M1 y M2, y más allá de la más pequeña de los dos. Nél l'atraición gravitatoria de los dos cuerpos mayores compensa la fuercia centrífuga causada pol menor.
Exemplu: un oxetu qu'orbite el Sol más lloñe que la Tierra tendría un periodu orbital más llargu que'l de la Tierra. La fuercia adicional de la gravedá de la Tierra fai menguar el periodu orbital del oxetu, y precisamente el puntu L2 ye aquel en que'l periodu orbital ye igual al de la Tierra.
El puntu L2 del sistema Sol-Tierra ye un bon puntu pa los observatorios espaciales, porque un oxetu alredor de L2 va caltener la mesma orientación con respectu al Sol y la Tierra, y la calibración y blindaxe son más senciellos. El Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP), según l'Observatoriu Espacial Herschel yá tán n'órbita alredor del puntu L2 del sistema Sol-Tierra. El futuru Telescopiu Espacial James Webb, tamién se va asitiar nel puntu L2 del sistema Sol-Tierra. El puntu L2 del sistema Tierra-Lluna sería una bona llocalización pa un satélite de comunicaciones que cubriera la cara oculta de la Lluna.
Si M2 ye muncho más pequeñu que M1, entós L1 y L2 tán a distancies aproximadamente iguales r de M2, igual al radiu de la esfera de Hill, dau por:
onde R ye la distancia ente los dos cuerpos.
Esta distancia puede describise como aquella na que'l periodu orbital correspondiente a una órbita circular con esta distancia alredor de M2 y n'ausencia de M1, ye'l tiempu que tarda en xirar M2 alredor de M1, estremáu por .
Exemplos: Sistema Sol y Tierra: 1.500.000 km de la Tierra * Sistema Tierra y Lluna: 61.500 km de la Lluna
El puntu L3
El puntu L3 ta na llinia definida poles dos mases grandes M1 y M2, y más allá de la mayor de los dos.
Exemplu: el puntu L3 nel sistema de Sol–Tierra ta nel llau opuestu del Sol, un pocu más cerca del Sol que la mesma Tierra. Esta aparente contradicción esplícase porque'l Sol ta tamién afeutáu pola gravedá terrestre, y asina xira en redol al centru de mases común o baricentru que, sicasí, atópase dientro del Sol. En L3 la fuercia gravitatoriu combinada de la Tierra y del Sol fai que l'oxetu orbite col mesmu periodu que la Tierra. El puntu L3 nel sistema de Sol–Tierra foi un llugar popular utilizáu p'allugar una "Contra-Tierra", en llibros de ciencia ficción o en cómics; anque la observación direuta por sondes y satélites demostró depués la so inesistencia. Na realidá, L3 nel sistema Sol-Tierra ye bien inestable, pos les fuercies gravitatories de los demás planetes pueden llegar a superar a la de la Tierra, (Venus, por casu, pasa a 0.3 AU de L3 cada 20 meses).
Los puntos L4 y L5 thumb|right|250px|Aiciones gravitatories en L4. El puntu L4 y el puntu L5 tán nos vértices de triángulos equilláteros que la so base común ye la recta que xune les dos mases, de forma que'l puntu L4 preciede al cuerpu pequeñu un ángulu de 60º vistu dende la masa grande, ente que L5 xira detrás del cuerpu pequeñu, anque con radio mayor qu'ésti, con un retrasu de 60º vistu de la mesma dende'l cuerpu grande. Estos puntos, según el cuerpu menor de masa M2, nun xiren sobre'l cuerpu grande, sinón sobre'l baricentru de dambos cuerpos marcáu como b na figura. El cuerpu grande tamién xira sobre b con un radiu r1
El radiu de la órbita común a los puntos L4 y L5 puede deducise de la figura por aciu razonamientos xeométricos:
Teniendo en cuenta que los radios de les órbites de los cuerpos grandes y tán en rellación inversa de les sos mases: , resuélvese'l triángulu formáu por L4, b y el centru de masa del cuerpu menor; resultando na rellación .
Espresando el resultáu en función de resulta: