thumb|Esta ye una simulación del movimientu browniano que realiza una partícula de polvu que topeta con un gran conxuntu de partícules de menor tamañu (molécules de gas) les cualos muévense con distintes velocidaes en direiciones aleatories. thumb|Esta ye una simulación del movimientu browniano de 5 partícules (marielles) que topeten con un gran conxuntu de 800 partícules. Les partícules marielles dexen 5 rastros azules de movimientu aleatoriu y unu d'ellos tien un vector de velocidá coloráu right thumb|Trés vistes distintos del movimientu browniano, con 32 pasos, 256 pasos y 2048 pasos marcaos con colores más claros progresivamente thumb|Una simple realización d'un movimientu browniano tridimensional pa tiempos 0 ≤ t ≤ 2
El movimientu browniano ye'l movimientu aleatoriu que se repara nes partícules que se topen nun mediu fluyíu (líquidu o gas), como resultáu de choques contra les molécules de dichu fluyíu.
Esti fenómenu de tresporte recibe'l so nome n'honor al escocés Robert Brown, biólogu y botánicu. En 1827, mientres miraba al traviés d'un microscopiu a les partícules atrapaes nos cuévanos dientro d'un granu de polen na agua, señaló que les partícules movíense al traviés del líquidu; pero nun foi capaz de determinar los mecanismos que provocaron esti movimientu. Los átomos y les molécules fueren teorizadas como componentes de la materia, y Albert Einstein publicó un artículu en 1905, consideráu por él como'l Annus Mirabilis ("añu maraviyosu", en llatín) onde esplicó con tou detalle cómo'l movimientu que Brown reparara yera el resultáu del polen siendo movíu por molécules d'agua individual. Esta esplicación sirvió como prueba convincente de qu'esisten los átomos y molécules, y foi verificáu esperimentalmente por Jean Perrin en 1908. Perrin foi gallardoniáu col Premiu Nobel de Física en 1926 pol so trabayu sobre la estructura discontinua de la materia (Einstein recibiera'l premiu cinco años antes polos sos servicios a la física teórica con especial mención al efeutu fotoeléctricu). La direición de la fuercia de bombardéu atómicu ta camudando constantemente, y en distintos momentos, la partícula ye cutida más nun llau que n'otru, lo que lleva a la naturaleza aleatoria del movimientu.
El movimientu browniano atopar ente los procesos estocásticos más simples, y ye allegáu a otros dos procesos estocásticos más simples y complexos: el camín aleatoriu y el teorema de Donsker. Esta universalidá ta estrechamente rellacionada cola universalidá de la distribución normal. En dambos casos, de cutiu ye la conveniencia matemática, más qu'exactitú de los modelos, lo que lleva al usu de la distribución normal.
Tanto la espardimientu como la ósmosis basar nel movimientu browniano. Historia thumb|left| Reproducíu del llibru de Jean Baptiste Perrin, Les Atomes, trés rastros del movimientu de partícules coloidales de radiu 0.53 µm como se ve nel microscopiu, amuésense. Les posiciones socesives cada 30 segundos xunir por aciu segmentos de llinia recta (el tamañu de la malla ye de 3,2 µm).Perrin, 1914, p. 115
El poema científicu Sobre la Naturaleza de les coses, del romanu Lucrecio (60 e. C.), inclúi la notable descripción d'un movimientu browniano de partícules de polvu dende los versos 113 hasta'l 140. L'autor presentó esti fechu como prueba de la esistencia de los átomos:
Anque'l movimientu d'amiestu de partícules de polvu ye causáu principalmente poles corrientes d'aire, el rellumu y el traxín de les partícules ye, verdaderamente, productu de la dinámica browniana
Jan Ingenhousz describió'l movimientu irregular de partícules de carbón pulverizaes na superficie del alcohol en 1785. Sicasí, el descubrimientu del movimientu browniano atribúyese tradicionalmente al botánicu Robert Brown en 1827. Créese que Brown tuvo estudiando al microscopiu partícules de polen de la planta Clarkia pulchella llexando na agua. Dientro de les vacuoles de los granos de polen reparó diminutes partícules con movimientos nerviosos. Al repitir l'esperimentu con partícules de polvu, concluyó que'l movimientu nun se debía a que les partícules de polen tuvieren "vives", anque nun esplicó l'orixe del movimientu.
El primeru en describir matemáticamente el movimientu browniano foi Thorvald N. Thiele en 1880, nun documentu sobre'l métodu de los mínimos cuadraos. Foi siguíu independientemente por Louis Bachelier en 1900, na so tesis doctoral La teoría de la especulación, na que se presenta un analís estocástico d'aición y opción de mercaos. El modelu del movimientu browniano de les aiciones de mercáu ye citáu frecuentemente, pero Benoit Mandelbrot refugó la so aplicación al movimientu de los precios de les aiciones, en parte porque son discontinuos.
Sicasí, foi l'estudiu independiente d'Albert Einstein nel so artículu de 1905 (Über die von der molekularischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen / Sobre'l movimientu postuláu pola teoría cinética molecular del calor de pequeñes partícules suspendíes nun líquidu estacionario) nel qu'amosó la solución a los físicos, como una forma indireuta de confirmar la esistencia d'átomos y molécules.
Nesa dómina la naturaleza atómica de la materia entá yera una idea revesosa. Einstein y Marian Smoluchowski deducieron que, si la teoría cinética de los fluyíos yera correuta, entós les molécules d'agua tendríen movimientos aleatorios. Poro, les partícules pequeñes podríen recibir un númberu aleatoriu d'impactos, de fuercia aleatorio y de direiciones aleatories, en curtios periodos de tiempu. Esti bombardéu aleatoriu poles molécules del fluyíu podría ser abondu por que les partícules pequeñes mover de la manera exacta que Brown describiera. Theodor Svedberg fixo importantes demostraciones del movimientu browniano en coloides, según Felix Ehrenhaft facer con partícules de plata na atmósfera terrestre. Jean Perrin tamién realizó esperimentos pa verificar los modelos matemáticos, y al publicar les sos resultaos finales púnxose fin a dos mil años de disputa sobre la realidá de les molécules y los átomos.
Teoría d'Einstein
Hai dos partes na teoría d'Einstein: la primer parte consiste na formulación d'una ecuación d'espardimientu de partícules brownianas, nel que'l coeficiente d'espardimientu ta rellacionada col desplazamientu cuadrático mediu d'una partícula browniana, ente que la segunda parte rellaciona'l coeficiente d'espardimientu de les magnitúes físiques medibles. D'esta manera Einstein foi capaz de determinar el tamañu de los átomos, y el númberu d'átomos qu'hai nun mol, o'l pesu molecular (en gramos), d'un gas. Acordies cola llei de Avogadro, esti volume ye'l mesmu pa tolos gases ideales, que ye 22,414 llitros a temperatura y presión estándar. El númberu d'átomos conteníos nesti volume conozse como númberu de Avogadro, y la determinación d'esti númberu ye equivalente a la conocencia de la masa d'un átomu, yá que esta postrera llógrase estremando la masa d'un mol de gas pol númberu de Avogadro.
thumb|300px|Les curves carauterístiques en forma de campana del espardimientu de partícules brownianas. La distribución empieza como una función delta de Dirac, lo qu'indica que toles partícules atopar nel orixe con tiempu t = 0, y pol aumentu de los tiempos vuélvense cada vez más y más planos hasta que se convierte na distribución uniforme na llende de tiempu asintótico.
La primer parte del razonamientu d'Einstein foi determinar cuántu viaxa una partícula browniana nun intervalu de tiempu dau. Una partícula browniana sufre del orde de 1014 choques per segundu. Esto llevó a considerar a Einstein el movimientu coleutivu de les partícules brownianas.
Consideró la medría na coordenada x de la partícula como una variable aleatoria (x ó , en virtú del tresformamientu de coordenaes que lleva l'orixe a la posición inicial de la partícula), con función de densidá de probabilidá . Amás, suponiendo caltenimientu del númberu de partícules, desenvolvió la densidá (númberu de partícules per unidá de volume) en serie de Taylor:
Na última espresión la primer integral ye 1 pola normalización de la probabilidá y la segunda integral (y toles de la mesma forma nes que tea alzada a un esponente impar) anular pola simetría de . Queda entós
De la comparanza de términos llógrase la siguiente rellación:
Puede demostrase que cuando y tienden a 0 el cociente qu'hai na postrera integral tiende a una llende, lo que dexa definir el coeficiente d'espardimientu D :
La densidá de les partícules brownianas satisfai la ecuación d'espardimientu:
Suponiendo que N partícules empiecen dende l'orixe nel tiempu inicial t = 0, la ecuación d'espardimientu tien la solución
que ye una distribución normal de media y varianza . La varianza ye'l desplazamientu cuadrático mediu, . Al tomar el so raigañu cuadráu se oberva que'l desplazamientu d'una partícula browniana nun ye proporcional al tiempu trescurríu, sinón al raigañu cuadráu del tiempu.A. Einstein, Investigations of the Theory of Brownian Movement (Dover, 1956). Al faer esti tipu d'afirmaciones sobre una partícula a partir del comportamientu d'una coleutividá de partícules ta faciéndose un pequeñu saltu conceptual que puede xustificase.
La segunda parte de la teoría d'Einstein referir a la constante d'espardimientu en cantidaes físicamente medibles, tales como la media al cuadráu de desplazamientu d'una partícula nun intervalu de tiempu dau. Esta resultáu dexa la determinación esperimental del númberu de Avogadro y polo tanto'l tamañu de les molécules. Einstein analizó un equilibriu dinámicu que s'establez ente fuercies opuestes. La guapura del so argumentu ye que el resultáu final nun depende de que les fuercies tán arreyaes nel establecimientu del equilibriu dinámicu.
Nel so tratamientu orixinal, Einstein consideraba un esperimentu de presión osmótica, pero a la mesma conclusión puede llegase d'otra manera.
Consideremos, por casu, partícules en suspensión nun fluyíu mafosu nun campu gravitatorio. La gravedá tiende a faer que les partícules deposítense, ente que l'espardimientu actúa pa homogeneizarlos, conduciéndolos a rexones de menor concentración. So l'aición de la gravedá, una partícula adquier una velocidá descendente de v = μmg , onde M ye la masa de la partícula, g ye l'aceleración debida a la gravedá y μ ye la movilidá de la partícula nel fluyíu. George Stokes demostrara que la movilidá d'una partícula esférica con radiu R ye , onde η ye la mafa dinámica del fluyíu. Nun estáu d'equilibriu dinámicu, les partícules distribúyense d'alcuerdu a la distribución barométrica
Onde ρ-ρ0 ye la diferencia na densidá de les partícules separaes por un desnivel de h , kB ye la constante de Boltzmann (esto ye, la rellación de la constante universal de los gases , R, col númberu de Avogadro, N ), y T ye la temperatura absoluta. Ye'l númberu de Avogadro lo que se va a determinar.
thumb|La distribución d'equilibriu pa les partícules de gamboge amuesa l'enclín de los gránulos a que se muevan a les rexones de menor concentración cuando se ven afeutaos pola gravedá. Establezse l'equilibriu dinámicu, porque cuanto más se tiren escontra baxo les partícules pola gravedá, mayor ye l'enclín a que les partícules migren a rexones de menor concentración. El fluxu ta dada poles lleis de Fick,
onde J = ρv. Aplicando la fórmula pa ρ, atopamos que
Nun estáu d'equilibriu dinámicu, esta velocidá tien de ser tamién igual a v = μmg . Nótese que dambes espresiones pa V son proporcionales a mg , reflexando cómo la derivación ye independiente del tipu de fuercies consideraes. Igualando estos dos espresiones derívase esta espresión pa la difusividad: