thumb|250px|Los cuatro ecuaciones de Maxwell describen tolos fenómenos electromagnéticos, equí amuésase la inducción magnética per mediu d'una corriente llétrica. Les ecuaciones de Maxwell son un conxuntu de cuatro ecuaciones (orixinalmente 20 ecuaciones) que describen por completu los fenómenos electromagnéticos. La gran contribución de James Clerk Maxwell foi axuntar nestes ecuaciones llargos años de resultaos esperimentales, debíos a Coulomb, Gauss, Ampere, Faraday y otros, introduciendo los conceutos de campu y corriente de desplazamientu, y unificando los campos llétricu y magnéticu nun solu conceutu: el campu electromagnéticu.
Desarrollu históricu de les ecuaciones de Maxwell thumb|125px|Semeya de Maxwell.
Dende finales del sieglu XVIII diversos científicos formularon lleis cuantitatives que rellacionaben les interacciones ente los campos llétricos, los campos magnéticos y les corrientes sobre conductores. Ente estes lleis tán la llei de Ampère, la llei de Faraday o la llei de Lenz. Maxwell llograría unificar toes estes lleis nuna descripción coherente del campu electromagnéticu.
Maxwell diose cuenta de que'l caltenimientu de la carga llétrica paecía riquir introducir un términu adicional na llei de Ampère. Ello ye que anguaño considérase qu'unu de los aspeutos más importantes del trabayu de Maxwell nel electromagnetismu ye'l términu qu'introdució en dicha llei: la derivada temporal d'un campu llétricu, conocida como corriente de desplazamientu. El trabayu que Maxwell publicó en 1865, A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, modificaba la versión de la llei de Ampère colo que se predicía la esistencia d'ondes electromagnétiques arrobinándose, dependiendo del mediu material, a la velocidá de la lluz en dichu mediu. D'esta forma Maxwell identificó la lluz como una onda electromagnética, unificando asina la óptica col electromagnetismu.
Quitando'l cambéu a la llei de Ampère, nenguna de les otres ecuaciones yera orixinal. Lo que fizo Maxwell foi reobtener diches ecuaciones a partir de modelos mecánicos ya hidrodinámicos usando'l so modelu de vórtices de llinies de fuercia de Faraday.
En 1884, Oliver Heaviside xunto con Willard Gibbs arrexuntó estes ecuaciones y reformular na notación vectorial actual. Sicasí, ye importante conocer que al faer eso, Heaviside usó derivaes parciales temporales, distintes a les derivaes totales usaes por Maxwell, na ecuación (54). Ello provocó que se perdiera'l términu qu'apaecía na ecuación posterior del trabayu de Maxwell (númberu 77). Na actualidá, esti términu úsase como complementariu a estes ecuaciones y conozse como fuercia de Lorentz.
La hestoria ye entá confusa, por cuenta de que'l términu ecuaciones de Maxwell úsase tamién pa un conxuntu d'ocho ecuaciones na publicación de Maxwell de 1865, A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, y esti tracamundiu deber a que seis de los ocho ecuaciones son escrites como tres ecuaciones pa cada exa de coordenaes, asina se puede unu confundir al atopar venti ecuaciones con venti incógnites. Los dos tipos d'ecuaciones son cuasi equivalentes, a pesar del términu esaniciáu por Heaviside nes actuales cuatro ecuaciones.
Detalle de les ecuaciones
Llei de Gauss pal campu llétricu
300px|thumb|Fluxu llétrico d'una carga puntual nuna superficie zarrada. La llei de Gauss esplica la rellación ente'l fluxu del campu llétricu y una superficie zarrada. Defínese como fluxu llétrico () a la cantidá de fluyíu llétricu que traviesa una superficie dada. Análogu al fluxu de la mecánica de fluyíos, esti fluyíu llétricu nun tresporta materia, pero ayuda a analizar la cantidá de campu llétricu () que pasa por una superficie S. Matemáticamente esprésase como:
La llei diz que'l fluxu del campu llétricu al traviés d'una superficie zarrada ye igual al cociente ente la carga (q) o la suma de les cargues qu'hai nel interior de la superficie y la permitividad llétrica nel vacíu (), asina:
La forma diferencial de la llei de Gauss, en forma llocal, afirma que pol teorema de Gauss-Ostrogradsky, la diverxencia del campu llétricu ye proporcional a la densidá de carga llétrica, esto ye,
onde ye la densidá de carga nel mediu interior a la superficie zarrada. Intuitivamente significa que'l campu Y diverxi o sale dende una carga , lo que se representa gráficamente como vectores que salen de la fonte que les xenera en toes direiciones. Por convención si'l valor de la espresión ye positivu entós los vectores salen, si ye negativu estos entren a la carga.
Pa casos xenerales tien d'introducise una cantidá llamada densidá de fluxu llétrico () y la nuesa espresión llogra la forma:
Llei de Gauss pal campu magnéticu
thumb|right|300px|Les llinies de campu magnéticu empiecen y terminen nel mesmu llugar, polo que nun esiste un monopolo magnéticu.
Esperimentalmente llegóse al resultáu de que los campos magnéticos, a diferencia de los llétricos, nun empiecen y terminen en cargues distintes. Esta llei primordialmente indica que les línea de los campos magnéticos tienen de ser cerraes. N'otres pallabres, dizse que sobre una superficie zarrada, seya como quier esta, nun vamos ser capaces de zarrar una fonte o sumidoriu de campu, esto espresa la inesistencia del monopolo magnéticu. Al zarrar un dipolo nuna superficie zarrada, nun sale nin entra fluxu magnético, polo tanto'l campu magnéticu nun diverxe, nun sale de la superficie. Entós la diverxencia ye cero. Matemáticamente esto esprésase asina:
onde ye la densidá de fluxu magnético, tamién llamada inducción magnética. Ye claro que la diverxencia seya cero porque nun salen nin entren vectores de campu sinón qu'esti fai caminos zarraos. El campu nun diverxe, ye dicir la diverxencia de B ye nula.
La so forma integral equivalente:
Como na forma integral del campu llétricu, esta ecuación solo funciona si la integral ta definida nuna superficie zarrada.
Llei de Faraday-Lenz
La llei de Faraday fálanos sobre la inducción electromagnética, la qu'anicia una fuercia electromotriz nun campu magnéticu. Ye habitual llamala llei de Faraday-Lenz n'honor a Heinrich Lenz una y bones el signu menos provién de la Llei de Lenz. Tamién se-y llama como llei de Faraday-Henry, por cuenta de que Joseph Henry afayó esta inducción de manera separada a Faraday pero cuasi simultáneamente. Lo primero que se debe introducir ye la fuercia electromotriz (), si tenemos un campu magnéticu variable col tiempu, una fuercia electromotriz ye inducida en cualesquier circuitu llétricu; y esta fuercia ye igual a menos la derivada temporal del fluxu magnético, asina: , como'l campu magnéticu ye dependiente de la posición tenemos que'l fluxu magnético ye igual a: . Amás, el qu'esista fuercia electromotriz indica qu'esiste un campu llétricu que se representa como:
colo que finalmente se llogra la espresión de la llei de Faraday:
Lo qu'indica qu'un campu magnéticu que depende del tiempu implica la esistencia d'un campu llétricu, del que la so circulación per un camín arbitrariu zarráu ye igual a menos la derivada temporal del fluxu magnético en cualquier superficie llindada pel camín zarráu.
El signu negativu esplica que'l sentíu de la corriente inducida ye tal que'l so fluxu oponer a la causa que la produz, compensando asina la variación de fluxu magnético (Llei de Lenz).
La forma diferencial llocal d'esta ecuación ye:
Esto ye, el rotacional del campu llétricu ye la derivada de la inducción magnética con respectu al tiempu.
Interprétase como sigue: si esiste una variación de campu magnéticu B entós este provoca un campu llétricu Y o bien la esistencia d'un campu magnéticu non estacionariu nel espaciu llibre provoca circulaciones del vector Y a lo llargo de llinies zarraes. En presencia de cargues llibres, como los electrones, el campu Y puede mover les cargues y producir una corriente llétrica. Esta ecuación rellaciona los campos llétrico y magnético, y tien otres aplicaciones práutiques como los motores llétricos y los xeneradores llétricos y esplica el so funcionamientu. Más precisamente, demuestra qu'un voltaxe puede ser xeneráu variando'l fluxu magnético que traviesa una superficie dada.
Llei de Ampère xeneralizada
Ampère formuló una rellación pa un campu magnéticu inmóvil y una corriente llétrica que nun varia nel tiempu. La llei de Ampère diznos que la circulación nun campu magnéticu () a lo llargo d'una curva zarrada C ye igual a la densidá de corriente () sobre la superficie zarrada na curva C, matemáticamente asina:
onde ye la permeabilidá magnética nel vacíu.
Pero cuando esta rellación considerar con campos que sí varien al traviés del tiempu llega a cálculos erróneos, como'l de violar la caltenimientu de la carga. Maxwell corrixó esta ecuación pa llograr afaela a campos non estacionarios y darréu pudo ser comprobada esperimentalmente por Heinrich Rudolf Hertz.
Maxwell reformuló esta llei asina:
Nel casu específicu estacionariu esta rellación correspuende a la llei de Ampère, amás confirma qu'un campu llétricu que varia col tiempu produz un campu magnéticu y amás ye consecuente col principiu de caltenimientu de la carga.
En forma diferencial, esta ecuación toma la forma:
En forma senciella esta ecuación esplica que si se tien un conductor, un alambre rectu que tien una densidá de corriente J, esta provoca l'apaición d'un campu magnéticu B rotacional alredor del alambre y que'l rotor de B apunta nel mesmu sentíu que J.
En medios materiales
Pal casu de que les cargues tean en medios materiales, y asumiendo qu'estos son lliniales, homoxéneos, isótropos y non dispersivos, podemos atopar una rellación ente los vectores intensidá llétrica y inducción magnética al traviés de dos parámetros conocíos como permitividad llétrica y la permeabilidá magnética:
Pero estos valores tamién dependen del mediu material, polo que se diz qu'un mediu ye llinial cuando la rellación ente Y/D y B/H ye llinial. Si esta rellación ye llinial, matemáticamente puede dicise que y tán representaes por una matriz 3x3. Si un mediu ye isótropo ye porque esta matriz pudo ser diagonalizada y consecuentemente ye equivalente a una función ; si nesta diagonal unu de los elementos ye distintu al otru dizse que ye un mediu anisótropo. Estos elementos tamién son llamaos constantes dieléctriques y, cuando estes constantes nun dependen de la so posición, el mediu ye homoxéneu.
Los valores de y en medios lliniales nun dependen de les intensidaes del campu. Per otru llau, la permitividad y la permeabilidá son esguilares cuando les cargues tán en medios homoxéneos y isótropos. Los medios heteroxéneos y isótropos dependen de les coordenaes de cada puntu polo que los valores, esguilares, van depender de la posición. Los medios anisótropos son tensores. Finalmente, nel vacíu tantu como son cero porque suponemos que nun hai fontes.
Na siguiente tabla atopamos les ecuaciones como se les fórmula nel casu xeneral y na materia. Nel vacíu-----
Ecuaciones de Maxwell
Les ecuaciones de Maxwell como agora conocer son los cuatro citaes enantes y a manera de resume pueden atopase na siguiente tabla:
NomeForma diferencial Forma integral Llei de Gauss: Llei de Gauss pal campu magnéticu: Llei de Faraday: Llei de Ampère xeneralizada:
Estos cuatro ecuaciones xunto cola fuercia de Lorentz son les qu'espliquen cualquier tipu de fenómenu electromagnéticu. Una fortaleza de les ecuaciones de Maxwell ye que permanecen invariantes en cualquier sistema d'unidaes, salvu de pequeñes esceiciones, y que son compatibles cola relatividá especial y xeneral. Amás Maxwell afayó que la cantidá yera a cencielles la velocidá de la lluz nel vacíu, polo que la lluz ye una forma de radiación electromagnético. Los valores aceptaos anguaño pa la velocidá de la lluz, la permitividad y la permeabilidá magnética resumir na siguiente tabla:
SímboluNomeValor numbéricuUnidá de midida SITipu definíu Permitividad del vacíu faradios por metro deriváu Permeabilidá magnética henrios por metro definíu
Potencial esguilar y potencial vector