thumb|La integral definida d'una función representa l'área llindada pola gráfica de la función, nun sistema de coordenaes cartesianes con signu positivu cuando la función toma valores positivos y signu negativu cuando toma valores negativos. La integración ye un conceutu fundamental del cálculu y del analís matemáticu. Básicamente, una integral ye una xeneralización de la suma d'infinitos sumandos, infinitamente pequeños.
El cálculu integral, encuadráu nel cálculu infinitesimal, ye una caña de les matemátiques nel procesu d'integración o antiderivación. Ye bien común na inxeniería y na ciencia; utilízase principalmente pal cálculu d'árees y volúmenes de rexones y sólidos de revolución.
Foi usáu per primer vegada por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz y Isaac Barrow. Los trabayos d'esti postreru y apurrir de Newton xeneraron el teorema fundamental del cálculu integral, que propón que la derivación y la integración son procesos inversos.
Principales oxetivos del cálculu integral
Los sos principales oxetivos a estudiar son: Área d'una rexón plana Cambéu de variable Integrales indefiníes Integrales definíes Integrales impropies Integral de llinia Integrales múltiples (dobles o triples) Integrales trigonométriques, logarítmiques y esponenciales Métodos d'integración Teorema fundamental del cálculu Volume d'un sólidu de revolución
Teoría
thumb|250px|right| interprétase como l'área so la curva de f, ente a y b. Dada una función d'una variable real y un intervalu de la recta real, la integral ye igual al área de la rexón del planu llindada ente la Gráfica d'una función gráfica de , la exa , y les llinies verticales y , onde son negatives les árees per debaxo de la exa .
La pallabra "integral" tamién puede faer referencia a la noción de primitiva: una función F, que la so derivada ye la función dada . Nesti casu denominar integral indefinida, ente que les integrales trataes nesti artículu son les integrales definíes. Dellos autores caltienen una distinción ente integrales primitives ya indefiníes.
thumb|Qué ye la integral (animación)
Los principios de la integración fueron formulaos por Newton y Leibniz a finales del sieglu XVII. Al traviés del teorema fundamental del cálculu, que desenvolvieron los dos de forma independiente, la integración coneutar cola derivación, y la integral definida d'una función puede calculase fácilmente una vegada conozse una antiderivada. Les integrales y les derivaes pasaron a ser ferramientes básiques del cálculu, con numberoses aplicaciones en ciencia ya inxeniería.
Bernhard Riemann dio una definición rigorosa de la integral. Basar nun llende qu'avera l'área d'una rexón curvillinia a base de partila en pequeños cachos verticales. A empiezos del sieglu XIX, empezaron a apaecer nociones más sofisticaes de la integral, onde se xeneralizaron los tipos de les funciones y los dominios sobre los cualos faise la integración. La integral curvillinia definir pa funciones vectoriales d'una variable, y l'intervalu d'integración [a,b] sustituyir pol de la parametrización de la curva sobre la cual tase integrando, que, coneuta dos puntos del planu o del espaciu. Nuna integral de superficie, la curva sustituyir por un cachu d'una superficie nel espaciu tridimensional.
Les integrales de les formes diferenciales desempeñen un papel fundamental na xeometría diferencial moderna. Estes xeneralizaciones de la integral surdieron primero a partir de les necesidaes de la física, y tienen un papel importante na formulación de munches lleis físiques cómo, por casu, les del electromagnetismu. Los conceutos modernos d'integración basar na teoría matemática astracta conocida como integral de Lebesgue, que foi desenvuelta por Henri Lebesgue.
Historia
Integración antes del cálculu
La integración puede trazase nel pasáu hasta'l antiguu Exiptu, circa 1800 e. C., col papiru de Moscú, onde se demuestra que yá se conocía una fórmula pa calcular el volume d'un tueru piramidal. La primer téunica sistemática documentada capaz de determinar integrales ye'l métodu de exhausción d'Eudoxo (circa 370 e. C.), que trataba d'atopar árees y volúmenes a base de partilos nun númberu infinitu de formes pa les cualos conociérense l'área o'l volume. Esti métodu foi desenvueltu y usáu más palantre por Arquímedes, que lo emplegó pa calcular árees de paráboles y un aproximamientu al área del círculu. Métodos similares fueron desenvueltos de forma independiente en China alredor del sieglu III por Liu Hui, que los usó p'atopar l'área del círculu. Más tarde, Zu Chongzhi usó esti métodu p'atopar el volume d'una esfera. Nel Siddhanta Shiromani, un llibru d'astronomía del sieglu XII del matemáticu indiu Bhaskara II, atópense delles idees de cálculu integral.
Hasta'l sieglu XVI nun empezar a apaecer adelantos significativos sobre'l métodu de exhausción. Nesta dómina, per un sitiu, col trabayu de Cavalieri col so métodu de los indivisibles y, per otru llau, colos trabayos de Fermat, empezar a desenvolver los fundamentos del cálculu modernu. A empiezos del sieglu XVII, produciéronse nuevos adelantos coles aportaciones de Barrow y Torricelli, que presentaron los primeros nicios d'una conexón ente la integración y la derivación.
Newton y Leibniz
Los principales adelantos n'integración vinieron nel sieglu XVII cola formulación del teorema fundamental del cálculu, realizáu de manera independiente por Newton y Leibniz. El teorema demuestra una conexón ente la integración y la derivación. Esta conexón, combinada cola facilidá, comparativamente falando, del cálculu de derivaes, puede usase pa calcular integrales. En particular, el teorema fundamental del cálculu dexa resolver una clase más amplia de problemes. Tamién cabo destacar tol marcu estructural alredor de les matemátiques que desenvolvieron tamién Newton y Leibniz. El llamáu cálculu infinitesimal dexó analizar, de forma precisa, funciones con dominios continuos. Darréu, esti marcu evolucionó escontra'l cálculu modernu, que la so notación pa les integrales procede direutamente del trabayu de Leibniz.
Formalización de les integrales
Anque Newton y Leibniz apurrieron un enfoque sistemáticu a la integración, el so trabayu escarecía d'un ciertu nivel de rigor. Ye memorable la espresión del obispu Berkeley interpretando los infinitesimales como los "pantasmes de les cantidaes que s'esmorecen".
El cálculu adquirió una posición más firme col desenvolvimientu de los Llende d'una función llendes y, na primer metá del sieglu XIX, recibió una fundamentación fayadiza per parte de Cauchy. La integración foi rigorosamente formalizada per primer vegada por Riemann, emplegando llendes. A pesar de que toles funciones continues estazaes y acutaes son integrables nun intervalu acutáu, más tarde consideráronse funciones más xenerales pa les cualos la definición de Riemann nun yera aplicable y por tanto nun yeren integrables nel sentíu de Riemann. Darréu Lebesgue dio una definición distinta de la integralNel casu de les funciones a les que s'aplica la definición de Riemann, los resultaos coinciden. basada na teoría de la midida que xeneralizaba la definición de Riemann, asina toa función integrable nel sentíu de Riemann tamién lo ye nel sentíu de Lebesgue, anque esisten delles funciones integrables nel sentíu de Lebesgue que nun lo son nel sentíu de Riemann. Más apocayá propunxéronse otres definiciones d'integral entá más xenerales, qu'amplíen les definiciones de Riemann y Lebesgue.
Notación
thumb|El símbolu d'integral n'escritos (d'esquierda a derecha) ingleses, alemanes y rusos. Isaac Newton usaba una pequeña barra vertical enriba d'una variable pa indicar integración, o ponía la variable dientro d'una caxa. La barra vertical confundíase fácilmente con o , que Newton usaba pa indicar la derivación, y amás la notación "caxa" yera malo de reproducir polos imprentadores; por ello, estes notaciones nun fueron llargamente adoptaes.
La notación moderna de les integrales indefiníes foi presentada por Gottfried Leibniz en 1675.Burton, David M. (2005). The History of Mathematics: An Introduction (6ª ed.), McGraw-Hill, p. 359, ISBN 978-0-07-305189-5Leibniz, Gottfried Wilhelm (1899) (Gerhardt, Karl Immanuel, ed.). Der Briefwechsel von Gottfried Wilhelm Leibniz mit Mathematikern. Erster Band, Berlin: Mayer & Müller, p. 154 Pa indicar summa (ſumma; en llatín, "suma" o "total"), afixo'l símbolu integral, "∫", a partir d'una lletra S allargada porque consideraba a la integral como una suma infinita de addendas infinitesimales. La notación moderna de la integral definida, coles llendes enriba y embaxo del signu integral, usar per primer vegada Joseph Fourier en Mémoires de l'Academia Francesa, alredor de 1819-20, reimpresa nel so llibru de 1822.Cajori, Florian (1929). A History Of Mathematical Notations, Vol. II, Open Court Publishing, páxs. 247-252, ISBN 978-0-486-67766-8Fourier, Jean Baptiste Joseph (1822). Théorie analytique de la chaleur, Chez Firmin Didot, père et fils, p. §231,
Esisten llixeres diferencies na notación del símbolu de la integral na lliteratura de les diverses llingües: el símbolu inglés ta inclináu escontra la derecha, n'alemán tradicionalmente escribióse derechu (ensin enclín) mientres la variante rusa tradicional ta inclinada escontra la esquierda.
Na notación matemática n'árabe modernu, que s'escribe de derecha a esquierda, úsase un signu integral invertíu 22px.W3C (2006). Arabic mathematical notation
Xeneralizaciones modernes
Tres la creación del cálculu integral a partir del sieglu XVII, y el so desenvolvimientu más o menos intuitivu mientres un par de sieglos, la noción d'integración foi analizada con mayor rigor mientres el sieglu XIX. Asina la primer noción rigorosa d'integración ye'l conceutu d'integral de Riemann, según la so xeneralización conocida como integral de Riemann-Stieltjes. A principios del sieglu XX, el desenvolvimientu de la teoría de la midida llevó al conceutu más xeneral y cualitativamente más avanzáu d'integral de Lebesgue. Más tarde el desenvolvimientu de la noción de procesu estocástico dientro de la teoría de la probabilidá llevó a la formulación de la integral de Itō escontra'l final de la primer metá del sieglu XX, y darréu a la so xeneralización conocida como integral de Skorohod (1975). Coles mesmes dende los años 1960, buscóse definición matemáticamente rigorosa d'integral de caminos cuánticos.
Terminoloxía y notación
Si una función tien una integral, dizse que ye integrable. De la función de la cual calcúlase la integral dizse que ye'l integrando. Denominar dominiu d'integración a la rexón sobre la cual intégrase la función. Si la integral nun tien un dominiu d'integración, considérase indefinida (la que tien dominiu considérase definida). Polo xeneral, l'integrando pue ser una función de más d'una variable, y el dominiu d'integración puede ser un área, un volume, una rexón de dimensión cimera, o inclusive un espaciu astractu que nun tien estructura xeométrica en nengún sentíu avezáu.
El casu más senciellu, la integral d'una función real f d'una variable real x sobre l'intervalu [a, b], escríbese
El signu ∫, una "S" allargada, representa la integración; a y b son el llende inferior y el llende cimera de la integración y definen el dominiu d'integración; f ye l'integrando, que se tien qu'evaluar al variar x sobre l'intervalu [a,b]; y dx puede tener distintes interpretaciones dependiendo de la teoría que s'emplegue. Por casu, puede trate a cencielles como una indicación de que x ye la variable d'integración, como una representación de los pasos na suma de Riemann, una midida (na integración de Lebesgue y les sos estensiones), un infinitesimal (n'analís non estándar) o como una cantidá matemática independiente: una forma diferencial. Los casos más complicaos pueden variar la notación llixeramente.
Conceutos y aplicaciones