thumb|200px|right|Una categoría con oxetos X,Y,Z y morfismos f, g, y g∘f. La teoría de categoríes ye un estudiu matemáticu que trata d'axomatizar de forma astracta diverses estructures matemátiques como una sola, por aciu l'usu d'oxetos y morfismus. Coles mesmes trata d'amosar una nueva forma de ver les matemátiques ensin incluyir les nociones d'elementos, pertenencia, ente otres. Historia La teoría de categoríes foi introducida en Topoloxía alxebraica, por Samuel Eilenberg y Saunders Mac Lane en 1942, nun importante pasu pa la transición dende homoloxía a Teoría de la homoloxía. Stanislaw Ulam afirma qu'esistíen idees asemeyaes na escuela polaca de los años 30 (ver Stanislaw Ulam).Introducción a la álxebra astracta".Juan Francísco Escamílla Catillo , páxs. 329.
Los desarrollos subsiguientes de la teoría fueron impulsaos poles necesidaes computacionales del Álxebra homológica y más tarde poles necesidaes axomátiques de la Xeometría alxebraica.Introducción a la álxebra astracta".Juan Francísco Escamílla Catillo , páxs. 329. La teoría xeneral -cierta actualización del álxebra universal con munches carauterístiques nueves que daben pie a una cierta flexibilidá en semántica y lóxiques d'orde cimeru- vieno más tarde.
Estes aplicaciones de categoríes nel campu de los fundamentos tán siendo trabayaes en bastante detalle y non solamente en matemátiques. Esisten matemáticos como William Lawvere que trabayen na física, esisten físicos trabayando en n-categoríes, John Baez. La Lóxica Categórica ye agora un campu bien definíu basáu na teoría de tipos pa la Lóxica intuicionista, con aplicaciones a la teoría de la programación funcional y la teoría de dominios, toes enmarcaes nuna categoría cartesianamente zarrada como descripciones non sintáctiques del cálculo lambda. L'usu del llinguaxe de la teoría de les categoríes déxa-y a unu esclariar qué tienen esautamente de mancomún toes estes árees.
Rellación filosófica Escuéyese'l términu categoría d'Aristóteles pero nel sentíu de Kant col enfotu de acomuñar a una forma pura pero nel contestu puramente matemáticu, esto ye, ensin efeutos fuera de les matemátiques.
Funtores
Col conceutu de categoría pretende prindase -poniendo l'énfasis nel conceutu de rellación (d'aplicación), más que d'elementu y pertenencia- la esencia d'una clase d'oxetos matemáticos, que se rellacionen por aciu aplicaciones, los morfismos na categoría en cuestión. Por casu, la clase de los grupos: en cuenta de estudiar los oxetos individuales (cada grupu) como se vieno faciendo, se enfatizan dichos morfismus ente ellos, que nun son otra cosa que les aplicaciones que "caltienen la so estructura". Nel exemplu de los grupos, dichos morfismus son los homomorfismus de grupos. Entós, una vegada que tenemos el nuesu "universu categorial" definíu -esto ye, una categoría- ye posible rellacionala con otres categoríes por aciu funtores, que son cierta xeneralización del conceutu de función pa categoríes: un funtor acomuña a cada oxetu d'una categoría un oxetu de la otra, y a cada aplicación de la primera una aplicación de la segunda. De cierta manera llévanos d'una imaxe de la categoría escontra la otra categoría, con ciertos graos de "afinamientu". Ciertes "construcciones naturales", como'l grupu fundamental d'un espaciu topolóxicu, pueden ser espresaes como funtores. Amás, dichos funtores tán bien de cutiu naturalmente rellacionaos y esto lleva al conceutu de tresformamientu natural.
Categoríes especiales, como los topos, tán sirviendo tamién como alternativa "generalizadora" y conceptualmente más rica de la teoría de conxuntos como fundamentu de les matemátiques .
Aproximamientu de la teoría de clases
Pa esaniciar los problemes surdíos de les paradoxes como la de Russell plantegóse'l siguiente parche a la Teoría de conxuntos:
Vamos Llamar "clase" a una agrupación d'oxetos.
Vamos Llamar "conxuntu" a les clases capaces de ser, elles mesmes, oxetos d'otres clases.
Vamos Llamar "clase mesma" a les clases incapaces de ser oxetos d'otra clase.
= Definición de categoría Complexu|1delles definiciones y demostraciones matemátiques formales}}
ye una categoría si tien:
1) una clase , llamada clase d'oxetos de .
2) , pa tou , un conxuntu de morfismus de en , llamáu , que los sos elementos escríbense como o tamién .
3) , pa tou , y pa tou , cumplir les siguientes propiedaes:
a) esisti tal que , esto ye, tenemos l'aplicación
b) propiedá asociativa na composición, ye dicir , pa tou .
c) esistencia del morfismu identidá tal que y . Nota Si les clases d'oxetos son solamente conxuntos, dizse que la categoría ye "pequeña" (small category). Esisten importantes categoríes que nun lo son.
Definición de subcategoría
Daes dos categoríes y , vamos dicir que ye una subcategoría de si:
i) ye subclase de
ii)
iii)
iv) .
nota Dizse que la subcategoría ye llena si
Exemplos básicos
De cada categoría da'l nome, oxetos que formen la clase y morfismus propios ente dichos oxetos respeutivamente:
La categoría Con, de tolos teoría de conxuntos conxuntos y aplicaciones ente estos.
La categoría Top, de tolos espacios topolóxicos y les aplicaciones continues ente estos.
y
La categoría G, de tolos grupos y los homomorfismus ente estos.
y
La categoría Gab, de tolos grupos abelianos y los homomorfismus ente estos.
y
La categoría VecK, de tolos espacios vectoriales sobre un cuerpu K y les aplicaciones lliniales ente estos.
y
La categoría An, de tolos aniellos y les aplicaciones ente estos.
y
La categoría Anc, de tolos aniellos conmutativos y les aplicaciones ente estos.
y
Dau un conxuntu parcialmente ordenáu, , hai una categoría , de tolos elementos de , y, , el conxuntu de morfismus vien dau por:
Dada una categoría , hai una categoría llamada dual o opuesta , cola mesma clase d'oxetos y,
Daes dos categoríes y , hai la categoría productu , de clase y de morfismus
La categoría ModR de tolos módulos pela derecha sobre'l aniellu R con unidá, xunto colos sos homomorfismus de módulos. Análogamente, la categoría de los módulos pela esquierda. La categoría Met de tolos espacios métricos xunto a les funciones curties. La categoría Uni de tolos espacios uniformes xunto a los unimorfismus. La categoría Ord de tolos conxuntos preordenados xunto a les funciones crecientes. Una categoría monoidal ye una categoría con una operación asociativa y un únicu elementu neutral con ésta operación. Los exemplos prototípicos son la categoría de conxuntos cola operación: unión dixunta y el conxuntu vacíu como elementu neutru, y la categoría d'espacios vectoriales sobre un cuerpu col productu tensorial d'espacios vectoriales y el mesmu cuerpu como l'únicu elementu neutral. Un grafo puede considerase como una categoría pequeña: los oxetos seríen los vértices del grafo y los morfismus los caminos nel grafo. La composición de morfismus ye la concatenación de caminos. Si I ye un conxuntu, la categoría: categoría discreta sobre I ye la categoría pequeña que tien como oxetos a los elementos de I y como morfismus namái a los morfismus identidá (qu'hai en toa categoría, como vais recordar). La categoría Mag de tolos magmes xunto colos sos homomorfismus. La categoría Med de tolos magmes mediales xunto colos sos homomorfismus. La cat Mon, de los monoides y los sos monoide-morfismus. Usaes en TQFT, álxebres de Frobenius, cobordismo.
Definiciones pa tipos de morfismus
Dada una categoría y oxetos , vamos dicir qu'un morfismu ye :
monomorfismu si y tales que siempres asocede qu'o implica que .
epimorfismu si y tales que siempres asocede qu'o implica que .
isomorfismu si y .
endomorfismu si automorfismu si ye un isomorfismu y
Proposición
Dada una categoría , oxetos y cumplir:
y tal que ye un monomorfismu, implica que ye un monomorfismu.
y tal que ye un epimorfismu, implica que ye un epimorfismu.
isomorfismu, implica que ye monomorfismu y epimorfismu.
Nota Esisten morfismus que son monomorfismus y epimorfismus que nun son isomorfismus.
Definiciones pa tipos d'oxetos
Dada una categoría , vamos dicir qu'un oxetu ye:
inicial si
final, si
nulu, si ye inicial y terminal al empar.
Exemplos
Na categoría Con, el Conxuntu vacíu ye un oxetu inicial, y tou conxuntu formáu con un únicu elementu ye un oxetu final na categoría de conxuntos.
Proposición
Dada una categoría , ente los sos oxetos iniciales/finales hai un únicu isomorfismu.
Definición de funtor
Daes dos categoríes y , vamos dicir que ye:
funtor covariante si:
1),, tenemos que .
2),, tenemos que tal que:
a),, tenemos que .
b), ,
.
funtor contravariante si:
1),, tenemos que .
3),, tenemos que tal que:
a),, tenemos que .
b), ,
. Nota Daes tres categoríes , y dos funtores covariantes y , la composición ye'l funtor covariante tal que:
,
, .
Exemplos
Dada una categoría , vamos dicir que ye'l funtor identidá a si dexa tou igual, claramente ye un funtor covariante recurriendo a la definición.
Daes una categoría y una subcategoría de , vamos dicir que ye funtor inclusión si dexa tou igual, claramente ye funtor covariante recurriendo a la definición.
Definiciones pa tipos de funtores
Daes dos categoríes y , vamos dicir qu'un funtor covariante ye:
plenu si, ye refechu.
fiel si, ye inyectivo.
dafechu fiel si, ye biyectivo.
mestu si, ye isomorfu a .
Dau un funtor covariante , vamos dicir que ye un isomorfismu de categoríes, si y .
Definición de tresformamientu natural
Daes dos categoríes , , y dos funtores covariantes y , hai una tresformamientu natural ente y si tien:
, , un morfismu
, , esto ye, el siguiente diagrama ye conmutativu:
Vamos Dicir qu'un morfismu ye una equivalencia si ye un isomorfismu.
Vamos Dicir qu'un funtor ye una equivalencia si esiste un funtor tal que y , onde vamos dicir que les dos categoríes son equivalentes.
Exemplos
Espaciu vectorial dual: un exemplu d'un funtor contravariante dende la categoría de tolos espacios vectoriales reales a la categoría de tolos espacios vectoriales reales ta dau pola asignación a cada oxetu (cada espaciu vectorial real) un oxetu llamáu espaciu dual y a cada morfismu (esto ye, a cada aplicación llinial), el so dual o trespuesta.
Álxebra de les funciones continues: un funtor contravariante dende la categoría de los espacio topolóxicos (que los sos morfismus son les aplicaciones continues) a la categoría de les álxebres asociatives reales, ye dau asignando a cada espaciu topolóxicuX la álxebra C(X) de toles funciones reales continues sobre tal espaciu. Cada aplicación continua f : X → Y (morfismu na categoría d'espacios topolóxicos) induz un homomorfismu d'álxebres C(f) : C(Y) → C(X) por aciu la regla C(f)(φ) = φ o f pa tou φ en C(Y).
Homomorfismo de grupos: a cada par A, B de grupos abelianos puede asignase el grupu abelianu Hom(A,B) que consiste en toos homomorfismus de grupos dende A a B. Esto ye un funtor que ye contravariante nel primer argumentu y covariante nel segundu, esto ye, ye un funtor Abop x Ab → Ab (onde Ab denota la categoría de los grupos abelianos colos homomorfismus de grupos). Si f : A1 → A2 and g : B1 → B2 son morfismus en Ab, entós tiense esti homomorfismu Hom(f,g) : Hom(A2,B1) → Hom(A1,B2) dau por φ |→ g o φ o f.
Funtores 'Olvidu', o 'Forgetful': el funtor F : Ring → Ab qu'aplica un aniellu escontra'l so grupu subxacente abelianu ye un funtor qu'escaez ("forgetful"), que nos crea una imaxe de daqué más "ricu" nun oxetu más probe, con menos estructura. Los morfismus na categoría de Aniellos (homomorfismus d'aniellos) convertir en morfismus en Ab (la categoría de grupos abelianos y los sos homomorfismus).
Productos tensoriales: Si C denota la categoría de los espacios vectoriales sobre un cuerpu fitu, coles aplicaciones lliniales como morfismus, entós el productu tensorial V [símbolu] W define un funtor C × C → C que ye covariante en dambos argumentos.