thumb|400px|La distribución de los númberos primos (llinia azul) hasta'l 400.
En matemátiques, un númberu primu ye un númberu natural mayor que 1 que tien namái dos divisores distintos: él mesmu y el 1.Niven y Zuckerman: Introducción a la teoría de númberos ISBN 968-18-069-7, páx. 19Burton W. Jones: Teoría de los númberos, Editorial Tríes. Méxicu D. F., páx.55 Otra manera, los númberos compuestos son los númberos naturales que tienen dalgún divisor natural amás de sí mesmos y del 1 y poro, pueden factorizarse. El númberu 1, por conveniu, nun se considera nin primu nin compuestu.
Los 168 númberos primos menores de 1000 son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997... .
La propiedá de ser primu denominar primalidá. Dacuando fálase de númberu primu impar pa referise a cualquier númberu primu mayor que 2, yá que este ye l'únicu númberu primu par. Dacuando se denota el conxuntu de tolos númberos primos por . Na teoría alxebraica de númberos, a los númberos primos conózse-yos como númberos racionales primos pa estremalos de los númberos gaussianos primos.Niven- Zuckerman. Introducción a la teoría de númberos
L'estudiu de los númberos primos ye una parte importante de la teoría de númberos, caña de les matemátiques que trata les propiedaes, básicamente aritmétiques,Abramo Hefez: Cursu de álgebbra vol.1, ISBN 9972-9394-1-3, páx.87 de los númberos enteros. Los númberos primos tán presentes en delles conxetures centenaries tales como la hipótesis de Riemann y la conxetura de Goldbach, resuelta pol peruanu Harald Helfgott na so forma débil.
La distribución de los númberos primos ye una tema recurrente d'investigación na teoría de númberos: si considérense númberos individuales, los primos paecen tar distribuyíos aleatoriamente, pero la distribución global» de los númberos primos sigue lleis bien definíes.
Historia de los númberos primos L'Oriente prehelénicu thumbnail|150px|Imaxe del güesu d'Ishango espuestu nel Real Institutu Belga de Ciencies Naturales.
Les mozquetes presentes nel güesu d'Ishango, que data de hai más de 20.000 años (anterior por tanto a l'apaición de la escritura) y que foi topáu pol arqueólogu Jean de Heinzelin de Braucourt,Marcus du Sautoy, La symphonie des nomes premiers P.42 (en francés) paecen aisllar cuatro números primos: 11, 13, 17 y 19. Dellos arqueólogos interpreten esti fechu como la prueba de la conocencia de los númberos primos. Con tou, esisten bien pocos afayos que dexen discernir les conocencies que tenía realmente l'home d'aquella dómina.Préhistoire de la géométrie: le problème des sources, artículu d'Olivier Keller (en francés)
Numberoses tablillas de magre secu atribuyíes a les civilizaciones que se fueron asocediendo en Mesopotamia a lo llargo del II mileniu e.C. amuesen la resolución de problemes aritméticos y atestigüen les conocencies de la dómina. Los cálculos riquíen conocer los inversos de los naturales, que tamién se toparon en tablillas. Nel sistema sexaxesimal qu'emplegaben los babilonios pa escribir los númberos, los inversos de los divisores de potencies de 60 (númberos regulares) calcúlense fácilmente; por casu, estremar ente 24 equival a multiplicar por 150 (2·60+30) y correr la coma sexaxesimal dos llugares. La conocencia matemática de los babilonios precisaba una sólida comprensión de la multiplicación, la división y la factorización de los naturales.
Nes matemátiques exipcies, el cálculu de fracciones riquía conocencies sobre les operaciones, la división de naturales y la factorización. Los exipcios namái operaben coles llamaes fracciones exipcies, suma de fracciones unitaries, esto ye, aquelles que'l so numberador ye 1, como , polo que les fracciones de numberador distintu de 1 escribíense como suma d'inversos de naturales, a ser posible ensin repetición en llugar de . Ye por ello que, en cierta manera, teníen que conocer o albidrar los númberos primos.
Antigua Grecia 230px|thumb|right|Un fragmentu de los Elementos d'Euclides atopáu en Oxirrinco. La primer prueba indiscutible de la conocencia de los númberos primos remontar a alredor del añu 300 e. C. y atópase nos Elementos d'Euclides (tomos VII a IX). Euclides define los númberos primos, demuestra qu'hai infinitos d'ellos, define'l máximu común divisor y el mínimu común múltiplu y apurre un métodu pa determinalos qu'anguaño se conoz como l'algoritmu d'Euclides. Los Elementos contienen coles mesmes el teorema fundamental de l'aritmética y la manera de construyir un númberu perfectu a partir d'un númberu primu de Mersenne.
La peñerada de Eratóstenes, atribuyida a Eratóstenes de Cirene, ye un métodu senciellu que dexa atopar númberos primos. Anguaño, sicasí, los mayores númberos primos que s'atopen cola ayuda d'ordenadores empleguen otros algoritmos más rápidos y complexos.
Dende la dómina de la renacencia 230px|thumb|Pierre de Fermat. Dempués de les matemátiques griegues, hubo poques meyores nel estudiu de los númberos primos hasta'l sieglu XVII. En 1640 Pierre de Fermat estableció (anque ensin demostración) el pequeñu teorema de Fermat, darréu demostráu por Leibniz y Euler. Ye posible que muncho primero se conociera un casu especial de dichu teorema en China.
Fermat conxeturó que tolos númberos de la forma 22n+1 yeren primos (por cuenta de lo cual conocer como númberos de Fermat) y verificó esta propiedá hasta n = 4 (esto ye, 216 + 1). Sicasí, el númberu de Fermat 232 + 1 ye compuestu (unu de los sos factores primos ye 641), como demostró Euler. Ello ye que hasta los nuesos díes nun se conoz nengún númberu de Fermat que sía primu amás de los que yá conocía'l mesmu Fermat.
El monxu francés Marin Mersenne investigó los númberos primos de la forma 2p − 1, con p primu. Nel so honor, conocer como númberos de Mersenne.
Nel trabayu de Euler en teoría de númberos atopen munchos resultaos que concernen a los númberos primos. Demostró la diverxencia de la serie , y en 1747 demostró que tolos númberos perfectos pares son de la forma 2p-1(2p - 1), onde'l segundu factor ye un númberu primu de Mersenne. Créese que nun esisten númberos perfectos impares, pero inda ye una cuestión abierta.
A empiezos del sieglu XIX, Legendre y Gauss conxeturaron de forma independiente que, cuando n tiende a infinitu, el númberu de primos menores o iguales que n ye asintótico a , onde ln(n) ye'l llogaritmu natural de n. Les idees que Bernhard Riemann afiguró nun trabayu de 1859 sobre la función zeta describieron el camín que conduciría a la demostración del teorema de los númberos primos. Hadamard y De la Vallée-Poussin, cada unu por separáu, dieron forma a esti esquema y consiguieron demostrar el teorema en 1896.
Anguaño nun se comprueba la primalidá d'un númberu por divisiones socesives, siquier non si'l númberu ye relativamente grande.
Mientres el sieglu XIX desenvolviéronse algoritmos pa saber si un númberu ye primu o non factorizando dafechu'l númberu siguiente (p+1) o l'anterior (p-1). Dientro del primer casu atópase'l test de Lucas-Lehmer, desenvueltu a partir de 1856. Dientro del segundu casu atópase'l test de Pépin pa los númberos de Fermat (1877). El casu xeneral de test de primalidá cuando'l númberu darréu anterior atópase dafechu factorizado denominar test de Lucas.
Darréu atopáronse algoritmos de primalidá con solo llograr una factorización parcial de p+1 o p-1. Exemplos d'estos algoritmos son el test de Proth (desenvueltu alredor de 1878) y el test de Pocklington (1914). Nestos algoritmos ríquese que'l productu de los factores primos conocíos de p-1 sía mayor que'l raigañu cuadráu de p. Más apocayá, en 1975, Brillhart, Lehmer y Selfridge desenvolvieron el test BLS de primalidá que solo requier que dichu productu sía mayor que'l raigañu cúbicu de p. El meyor métodu conocíu d'esta clase ye'l test de Konyagin y Pomerance del añu 1997, que requier que dichu productu sía mayor que p3/10.
A partir de la década de 1970 dellos investigadores afayaron algoritmos pa determinar si cualquier númberu ye primu o non con complexidá subexponencial, lo que dexa realizar tests en númberos de miles de díxitos, anque son muncho más lentos que los métodos anteriores. Exemplos d'estos algoritmos son el test APRT-CL (desenvueltu en 1979 por Adleman, Pomerance y Rumely, con meyores introducíes por Cohen y Lenstra en 1984), onde s'usen los factores de pm-1, onde l'esponente m depende del tamañu del númberu que la so primalidá deseyar verificar, el test de primalidá por curves elíptiques (desenvueltu en 1986 por S. Goldwasser, J. Kilian y ameyoráu por A. O. L. Atkin), qu'apurre un certificáu consistente nuna serie de númberos que dexa dempués confirmar rápido si'l númberu ye primu o non. El desenvolvimientu más recién ye'l test de primalidá AKS (2002), que magar la so complexidá ye polinómica, pa los númberos que puede remanar la teunoloxía actual ye'l más lentu de los trés.
Mientres enforma tiempu, pensábase que l'aplicación de los númberos primos yera bien llindada fuera de la matemática pura. Esto camudó nos años 1970 col desenvolvimientu de la criptografía de clave pública, na que los númberos primos formaben la base de los primeros algoritmos, tales como l'algoritmu RSA.
Dende 1951, el mayor númberu primu conocíu siempres foi afayáu cola ayuda d'ordenadores. La busca de númberos primos cada vez mayores amenó interés inclusive fuera de la comunidá matemática. Nos últimos años ganaron popularidá proyeutos de computación distribuyida tales como'l GIMPS, mientres los matemáticos siguen investigando les propiedaes de los númberos primos.
Aprimalidá del númberu 1
La cuestión alrodiu de si'l númberu 1 debe o nun considerase primu ta basada na convención. Dambes postures tienen les sos ventayes y los sos inconvenientes. Ello ye que hasta'l sieglu XIX, los matemáticos n'el so mayoría considerar primu. Munchos trabayos matemáticos siguen siendo válidos a pesar de considerar el 1 como un númberu primu, como, por casu, el de Stern y Zeisel. La llista de Derrick Norman Lehmer de númberos primos hasta'l 10.006.721, reimpresa hasta l'añu 1956Hans Riesel, Prime Numbers and Computer Methods for Factorization. New York: Springer (1994): 36 (n'inglés) empezaba col 1 como primer númberu primu.Richard K. Guy & John Horton Conway, The Book of Numbers. New York: Springer (1996): 129 - 130 (n'inglés)
Anguaño, la comunidá matemática inclinar por nun considerar al 1 na llista de los númberos primos. Esta convención, por casu, dexa una formulación bien económica del teorema fundamental de l'aritmética: «tou númberu natural tien una representación única como productu de factores primos, salvo l'orde»."Why is the number one not prime?" (n'inglés), aportáu'l 31-05-2009. Amás, los númberos primos tienen numberoses propiedaes de les qu'escarez el 1, tales como la rellación del númberu col valor correspondiente de la función φ de Euler o la función divisor."Arguments for and against the primality of 1" (n'inglés), aportáu'l 31-05-2009. Cabo tamién la igualdá pa tou enteru positivu, , lo que dexaría dicir que tien factores.Puede probase pol principiu d'inducción matemática
Propiedaes de los númberos primos Teorema fundamental de l'aritmética
thumb|Esta ilustración amuesa que'l 11 ye un númberu primu, pero'l 12 nun lo ye.