derecha|250px|thumb|Representación gráfica d'un vector como un segmentu empobináu sobre una recta. En física, un vector (tamién llamáu vector euclidianu o vector xeométricu) ye una magnitú física definida nun sistema de referencia que se caracteriza por tener módulu (o llargor), direición y orientación.
En matemátiques defínese un vector como un elementu d'un espaciu vectorial. Esta noción ye más astracta y pa munchos espacios vectoriales nun ye posible representar los sos vectores por aciu el módulu y la direición. En particular los espacios de dimensión infinita ensin productu angular nun son representables d'esa manera. Los vectores nun espaciu euclideu pueden representase geométricamente como segmentos de recta , nel planu (bidimensional), o nel espaciu (tridimensional).
Dellos exemplos de magnitúes físiques que son magnitúes vectoriales: la velocidá con que se mueve un móvil, yá que nun queda definida tan solo pol so módulu que ye lo que marca'l velocímetru, nel casu d'un automóvil, sinón que se riquir indicar la direición (escontra onde se dirixe), la fuercia qu'actúa sobre un oxetu, yá que el so efeutu depende amás de la so magnitú o módulu, de la direición na qu'actúa; tamién, el desplazamientu d'un oxetu, pos ye necesariu definir el puntu inicial y final del movimientu.
thumb|Esquema d'un vector como un segmentu de recta ente dos puntos A y B
Conceutos fundamentales Esta seición esplica los aspeutos básicos, la necesidá de los vectores pa representar ciertes magnitúes físiques, los componentes d'un vector, la notación de los mesmos, etc.
Definición derecha|thumb|Componentes d'un vector. Llámase vector de dimensión a una tupla de númberos reales (que se llamen componentes del vector). El conxuntu de tolos vectores de dimensión represéntase como (formáu por aciu el productu cartesianu).
Asina, un vector perteneciente a un espaciu represéntase como:
Un vector tamién puede vese dende'l puntu de vista de la xeometría como vector xeométricu (usando frecuentemente l'espaciu tridimensional o bidimensional ).
Un vector fixu del planu euclídeo ye un segmentu empobináu, nel qu'hai qu'estremar trés carauterístiques: Módulu: el llargor del segmentu. Direición: la direición de la recta. Sentíu: la orientación del segmentu, del orixe al estremu del vector. N'inglés, la pallabra direction indica tantu la direición como'l sentíu del vector, colo que se define'l vector con solu dos carauterístiques: módulu y direición.
Los vectores fixos del planu se denotan con dos lletres mayúscules (y una flecha escontra la derecha enriba), por casu , qu'indiquen el so orixe y estremu respeutivamente. Esto ye, el puntu A ye l'orixe o puntu d'aplicación y el puntu B ye l'estremu del vector , que les sos coordenaes son:
Carauterístiques d'un vector derecha|250px|thumb|Coordenaes cartesianes. Un vector puede definise polos sos coordenaes, si'l vector ta nel planu xy, represéntase:
siendo les sos coordenaes:
Si consideramos el triángulu formáu polos componentes (como catetos) y (como hipotenusa): puede calculase multiplicando pol cosα (siendo α l'ángulu formáu por y ) o multiplicando pol senβ (siendo β l'ángulu formáu por y ). D'igual forma puede calculase multiplicando pol senα o multiplicando pol cosβ (considerando les posiciones de α y β mentaes enantes).
Siendo'l vector la suma vectorial de les sos coordenaes:
derecha|250px|thumb|Coordenaes tridimensionales. Si un vector ye de tres dimensiones reales, representáu sobre les exes x, y, z, puede representase:
siendo les sos coordenaes:
Si representamos el vector gráficamente podemos estremar los siguientes elementos:
La recta soporte o direición, sobre la que se traza'l vector. esquierda|250px
El módulu o amplitú con un llargor proporcional al valor del vector. esquierda|250px
El sentíu, indicáu pola punta de flecha, siendo unu de los dos posibles sobre la recta soporte. esquierda|250px
El puntu d'aplicación que correspuende al llugar xeométricu al cual correspuende la carauterística vectorial representáu pol vector. esquierda|250px
El nome o denominación ye la lletra, signu o secuencia de signos que define al vector. esquierda|250px
Polo tanto nun vector podemos estremar: esquierda|250px Nome : Direición Sentíu : Módulu : Puntu d'aplicación
Magnitúes vectoriales thumb|250px|right|Representación gráfica d'una magnitú vectorial, con indicación del so puntu d'aplicación y de los versores cartesianos. thumb|250px|Representación de los vectores.
Frente a aquelles magnitúes físiques, tales como la masa, la presión, el volume, la enerxía, la temperatura, etc; que queden dafechu definíes por un númberu y les unidaes utilizaes na so midida, apaecen otres, tales como'l desplazamientu, la velocidá, l'aceleración, la fuercia, el campu llétricu, etc., que nun queden dafechu definíes dando un datu numbéricu, sinón que lleven acomuñaes una direición. Estes últimes magnitúes son llamaes vectoriales en contraposición a les primeres llamaes angulares.
Les magnitúes vectoriales queden representaes por un ente matemáticu que recibe'l nome de vector. Nun espaciu euclidianu, de non más de tres dimensiones, un vector representar por un segmentu empobináu. Asina, un vector queda carauterizáu polos siguiente elementos: el so llargor o módulu, siempres positivu por definición, y el so direición, que puede ser representada por aciu la suma de les sos #Componentes d'un vector componentes vectoriales ortogonales, paraleles a les exes de coordenaes; o por aciu coordenaes polares, que determinen l'ángulu que forma'l vector coles exes positives de coordenaes.
Represéntase como un segmentu empobináu, con una direición, dibuxáu de forma similar a una "flecha". El so llargor representa'l módulu del vector, la recta indica la direición, y la "punta de flecha" indica'l so sentíu.
Notación Les magnitúes vectoriales representar nos testos impresos por lletres en negrina, pa estremales de les magnitúes angulares que se representen en cursiva. Nos testos manuscritos, les magnitúes vectoriales represéntense asitiando una flecha sobre la lletra que designa'l so módulu (el cual ye un angular). Exemplos ... representen, respeutivamente, les magnitúes vectoriales de módulos A, a, ω, ... El módulu d'una magnitú vectorial tamién se representa zarrando ente barres la notación correspondiente al vector: ... Nos testos manuscritos escríbese: ... pa los vectores y ... o ... pa los módulos.
Cuando convenga, represéntense la magnitú vectorial faciendo referencia al orixe y al estremu del segmentu empobináu que lu representa geométricamente; asina, desígnense los vectores representaos na Figura 2 na forma , ... resultando bien útil esta notación pa los vectores que representen el desplazamientu.
Amás d'estes convenciones los vectores unitarios o versores, que'l so módulu ye la unidá, represéntense frecuentemente con un circunflexu enriba, por casu .
Clasificación de vectores Según los criterios que s'utilicen pa determinar la igualdá o equipolencia de dos vectores, pueden estremase distintos tipos de los mesmos: Vectores llibres: nun tán aplicaos en nengún puntu en particular. Vectores esnidiosos: el so puntu d'aplicación puede esmucir a lo llargo de la so recta d'aición. Vectores fixos o amestaos: tán aplicaos nun puntu en particular.
Podemos referinos tamién a: Vectores unitarios: vectores de módulu unidá. Vectores concurrentes o angulares: son aquelles que les sos direiciones o llinies d'aición pasen por un mesmu puntu. Tamién se-yos suel llamar angulares porque formen un ángulu ente elles. Vectores opuestos: vectores d'igual magnitú y direición, pero sentíos contrarios. N'inglés dizse que son d'igual magnitú pero direiciones contraries, una y bones la direición tamién indica'l sentíu. Vectores colineales: los vectores que comparten una mesma recta d'aición. Vectores paralelos: si sobre un cuerpu ríxidu actúen dos o más fuercies que les sos llinies d'aición son paraleles. Vectores coplanarios: los vectores que les sos rectes d'aición son coplanarias (asitiaes nun mesmu planu).
Componentes d'un vector thumb|250px|Componentes del vector. Un vector nel espaciu euclideu tridimensional puede espresase como una combinación llinial de trés vectores unitarios o versores, que son perpendiculares ente sigo y constitúin una base vectorial.
En coordenaes cartesianes, los vectores unitarios representar por , , , paralelos a les exes de coordenaes , , positivos. Les componentes del vector nuna base vectorial predeterminada pueden escribise ente paréntesis y separaes con comes:
o espresase como una combinación de los vectores unitarios definíos na base vectorial. Asina, nun sistema de coordenaes cartesianu, va ser
Estes representaciones son equivalentes ente sigo, y los valores , , , son les componentes d'un vector que, sacantes s'indique lo contrario, son númberos reales.
Una representación conveniente de les magnitúes vectoriales ye por aciu un vector columna o un vector fila, particularmente cuando tán implicaes operaciones matrices (tales como'l cambéu de base), de la manera siguiente:
Con esta notación, los vectores cartesianos queden espresaos de la siguiente manera:
El lema de Zorn, consecuencia del axoma d'elección, dexa establecer que tou espaciu vectorial almite una base vectorial, polo que tou vector ye representable como'l productu d'unes componentes al respeutive de dicha base. Dau un vector solo esisten un númberu finito de componentes distintos de cero.
Representación gráfica de los vectores
Hai persones que nun encamienta usar gráficos pa evitar el tracamundiu de conceutos y l'inducción al error, ensin investigación que la acote, tamién ye ciertu que la memoria aguiyar con meyores resultaos. Pa ello:
Llámase vector a la representación visual col símbolu de flecha (un segmentu y un triángulu nun estremu). La derechura visual d'una flecha o combadura de la mesma, nun la fai distinta en símbolu si los dos estremos permanecen nel mesmu llugar y orde. El qu'una flecha cierre en sí mesma, indica l'ausencia d'efectos alxebraicos. Pa visualizar la suma de vectores va faese encadenándolos, esto ye, xuniendo l'estremu que tien un triángulu (final) del primer vector col estremu que nun lo tien (orixe) del segundu vector calteniendo la direición y distancia, mesmes al espaciu, de los sos dos estremos, una y bones estos dos cualidaes estremar visualmente d'otros vectores. Los angulares van representar con una llinia de trazos a manera, puramente, de distinción yá que non siempres pertenecen al espaciu de vectores.
Esamínense cada unu de los casos qu'apaecen na definición de les operaciones suma de vectores y productu por un angular:
Suma de vectores La definición suma de vectores nel orde o+v produz otru vector, ye como encadenar, siempres visualmente, un vector o y depués unu v. Vamos Dicir que o+v simplificar como un vector w o que w descompon como suma de vectores o y v.
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1) Dicir que o+v=v+o, ye esixir que los dos sumas simplifiquen nel mesmu vector, en negru. Vease qu'en física los vectores en colloráu asemeyen la descomposición de fuercies exercíes pol vector negru nel so orixe, y represéntase con un paralelogramu.
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2) Dicir que o+(v+w)=(o+v)+w, ye esixir que les simplificaciones de sumes de vectores puedan ser optatives en cualquier cadena de sumes.
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3) Dicir qu'esiste un vector cero (elementu neutru) tal que o+0=o, equival a esixir qu'esista un vector incapaz d'efectuar, por aciu la suma, cambéu dalgunu a tolos vectores.
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4) Dicir que o+(-o)=0, ye esixir la esistencia d'un elementu opuestu, -o, que sumáu a o simplifique nun vector cero.
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Productu por un angular
La definición productu por un angular produz otru vector; ye como modificar l'estremu final del vector o, siempres visualmente.