Першаісная функцыі − такая функцыя , вытворная якой для ўсіх з пэўнага прамежку роўная дадзенай функцыі , гэта значыць, што на ўсім прамежку праўдзіцца роўнасць
Сукупнасць усіх першаісных функцыі на прамежку называецца нявызначаным інтэгралам і пазначаецца сімвалам
Працэс знаходжання першаіснай называецца інтэграваннем.
Уласцівасці нявызначанага інтэграла
Калі − першаісная функцыі на прамежку , то ўсякая першаісная функцыі на гэтым прамежку мае выгляд , дзе — адвольная сталая.
Сувязь з дыферэнцыялам і вытворнай Сувязь першаіснай з вытворнаю
Сувязь першаіснай з дыферэнцыялам
Лінейнасць нявызначанага інтэграла Няхай ёсць ненулявою сталаю, тады
Нявызначаны інтэграл сумы роўны суме нявызначаных інтэгралаў:
Сувязь з інтэгралам Рымана
Выраз першаіснай праз інтэграл Рымана. Няхай непарыўная на прамежку . Тады інтэграл Рымана са зменнаю верхняю мяжой
ёсць першаіснаю функцыі на прамежку .
Формула Ньютана-Лейбніца. Няхай ёсць першаіснаю функцыі на прамежку , тады праўдзіцца роўнасць
называная формулай Ньютана-Лейбніца.
Асноўныя метады інтэгравання
Лінейныя пераўтварэнні
Метад раскладання. Калі
то
Метад падстаноўкі
Увядзенне новага аргумента. Калі
то
дзе — непарыўна дыферэнцавальная функцыя.
Метад падстаноўкі. Калі — непарыўная, то, прымаючы
дзе — непарыўна дыферэнцавальная функцыя, атрымаем
Інтэграванне па частках
Метад інтэгравання па частках. Калі і — нейкія дыферэнцавальныя функцыі ад , то
Першаісная ў камплексным аналізе
Функцыя мае першаісную, калі і толькі калі яна аналітычная.
Першаісная адназначнай функцыі, ўвогуле кажучы, мнагазначная функцыя.
Прыклад:
Першаісныя найпрасцейшых элементарных функцый
У агульным выпадку першаісная элементарнай функцыі не ёсць элементарнай функцыяй (тады як вытворная элементарнай функцыі сама заўсёды элементарная). Напрыклад, немагчыма выразіць праз элементарныя функцыі такія нявызначаныя інтэгралы:
У гэтым раздзеле прыведзены спіс нявызначаных інтэгралаў некаторых найпрасцейшых элементарных функцый:
Гл. таксама Вытворная функцыі Інтэграл Рымана Спіс інтэгралаў
Катэгорыя:Матэматычны аналіз Катэгорыя:Інтэгральнае злічэнне