Простымі словамі, рад або шэраг — упарадкаваная сума ўсіх элементаў некаторай бесканечнай паслядоўнасці. Упарадкаванасць сумы тут азначае, што складнікі ў суме ідуць у тым жа парадку, што і ў паслядоўнасці.
Няхай — лікавая паслядоўнасць. Фармальна злучыўшы ўсе яе паслядоўныя элементы знакам плюс (+), атрымаем выраз:
які і называецца лікавым радам са складнікамі Зверович Э. И. Вещественный и комплексный анализ. В 6 ч. Ч. 1. — Минск: Выш. шк., 2006. — с. 124.
Будзем казаць, што рад
мае суму, калі існуе ліміт паслядоўнасці яго частковых сум
Гэты ліміт
і называецца сумай радаЗверович Э. И. Вещественный и комплексный анализ. В 6 ч. Ч. 1. — Минск: Выш. шк., 2006. — с. 125..
Калі сума рада ёсць лік, то такі рад называецца збежным, а ва ўсіх астатніх выпадках — разбежным.
Варта адзначыць, што ў гэтых азначэннях замест лікаў можна ўзяць элементы адвольнай прасторы, у якой вызначаны аперацыі сумы і лімітавага пераходу.
У матэматычным аналізе часцей за ўсё разглядаюцца: лікавыя рады, элементамі (складнікамі) ў якіх з’яўляюцца лікі (рэчаісныя і камплексныя); функцыянальныя рады, складнікамі ў якіх з’яўляюцца розныя функцыі;
Найважнейшае пытанне даследавання радоў — гэта іх збежнасць.
Адно з галоўных дастасаванняў лікавых радоў — набліжэнне пэўных лікаў з адвольнай дакладнасцю. Так, напрыклад, набліжаныя значэнні такіх ірацыянальных лікаў, як і , можна вылічыць з дапамогай адмысловых лікавых радоў.
Азначэнне
Няхай — лікавая паслядоўнасць; разгледзім нароўні з дадзенай паслядоўнасцю паслядоўнасць
кожны элемент якой прадстаўляе сабой суму некаторых элементаў зыходнай паслядоўнасці. У найбольш простым выпадку выкарыстоўваюцца звычайныя частковыя сумы выгляду
Наогул, для пазначэння рада выкарыстоўваецца знак
бо тут паказана зыходная паслядоўнасць элементаў рада, а таксама правіла сумавання.
У адпаведнасці з гэтым кажуць аб збежнасці лікавага рада:
лікавы рад збягаецца, калі збягаецца паслядоўнасць яго частковых сум; лікавы рад разбягаецца, калі разбягаецца паслядоўнасць яго частковых сум: лікавы рад збягаецца абсалютна, калі збягаецца рад з модуляў яго складнікаў.
Калі лікавы рад збягаецца, то ліміт паслядоўнасці яго частковых сум носіць назву сумы рада:
Аперацыі над радамі
Няхай зададзены збежныя рады і . Тады: іх сумай называецца рад іх здабыткам па Кашы называецца рад , дзе
Калі абодва рады збягаюцца, то іх сума збягаецца, калі абодва рады збягаюцца абсалютна, то іх сума збягаецца абсалютна. Калі хоць адзін з радоў збягаецца абсалютна, то здабытак радоў збягаецца.
Крытэр абсалютнай збежнасці
Лікавы (рэчаісны ці камплексны) рад называецца абсалютна збежным, калі збягаецца рад .
Рад збягаецца абсалютна тады і толькі тады, калі збягаюцца абодва дадатныя рады і , дзе
Доказ. Калі збягаецца то па прыкмеце параўнання тым больш збягаюцца і Наадварот, калі збягаюцца і то збягаецца і іх сума
Гл. таксама Функцыянальны рад Ступенны рад Рад Фур’е
Літаратура Зверович Э. И. Вещественный и комплексный анализ. В 6 ч. Ч. 1. — Минск: Выш. шк., 2006.
Ю. С. Богданов — «Лекции по математическому анализу» — Часть 2 — Минск — Издательство БГУ им. В. И. Ленина — 1978. Математическая энциклопедия. Т. 4 / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1984. — стлб. 1063—1070.
Спасылкі
Катэгорыя:Рады і паслядоўнасці