В математиката, гама-функция () е разширение на факториелната функция до множеството на комплексните числа. Ако е положително цяло число, то
Гама-функцията е определена за всички комплекси числа, с изключение за неположителните числа. За комплексни числа с положителна реална част, тя се определя чрез сходящ несобствен интеграл:
Тази интегрална функция се разширява чрез аналитично продължение до всички комплексни числа, освен за неположителни числа (където функцията има прости полюси), което води до мероморфната функция, която наричаме гама-функция. Тя няма нули, така че реципрочната гама-функция е холоморфна функция. Всъщност, гама-функцията съответства на трансформацията на Мелин на отрицателна експоненциална функция:
Гама-функцията е компонента в различни функции за разпределение на вероятностите, като например тези, които се използват в областите на теорията на вероятностите, статистиката и комбинаториката.
Определение Основно определение Обозначението е въведено от Льожандър. Ако реалната част на комплексното число е положителна (), тогава интегралът
е абсолютно сходящ и е познат също като Ойлеров интеграл от втори род. След интегриране по части се получава следното:
Тъй като то
Може да се изчисли :
От равенствата и следва, че
за всички цели положителни числа .
Тъждеството позволява да се разшири интегралната дефиниция на до мероморфна функция, определена за всички комплексни числа с изключение на целите неположителни числа. Именно тази функция с максимално голямо дефиниционно множество обикновено се нарича гама-функция.
Други определения Определение на Ойлер (като безкрайно произведение) Когато се търси приближение на за комплексно число , се оказва, че е ефективно първо да изчисли за някакво голям число , след което да се използва това за приближение на стойност за , а след това се използва рекурсивна връзка назад пъти, за да се развие приближение за . Освен това тази апроксимация е точна в граници, когато нараства към безкрайност.
По-конкретно, за определено цяло число , важи
и може да се провери дали същата формула важи, когато произволно цяло число се замени с произволно комплексно число
Умножавайки двете страни по , получаваме
Това безкрайно произведение е сходящо за всички комплекси числа освен за целите неположителни числа, при които рекурсивната връзка , приложена назад през стойността включва деление на нула.
Аналогична формула във вид на безкрайно произведение важи за гама-функцията, когато нейният аргумент е произволно комплексно число с изключение на целите неположителни числа:
Основни свойства на гама-функцията: ; за всички комплексни числа с изключение на целите неположителни числа; за всички комплексни числа .
Определение на Вайерщрас Определението на гама-функцията от Карл Вайерщрас е също валидно за всички комплексни числа , освен за неположителни числа:
където е константата на Ойлер–Маскерони.
Определяне чрез обобщените полиноми на Лагер Параметризация на непълната гама-функция чрез обобщените полиноми на Лагер:
безкрайният ред е сходящ за и .
Нестандартна параметризация на непълната гама-функция чрез полиномите на Лагер:
безкрайният ред е сходящ за .
Свойства Общи Други важни функционални уравнения за гама-функцията са формулата на отражението на Ойлер
която предполага
и дупликационната формула
Дупликационната формула е особен случай на теоремата за мултиплициране.
Просто, но полезно свойство, което може да се забележи от определянето на границите, е:
В частност, с , това произведение е:
Може би най-известната стойност на гама-функцията при аргумент, който не е цяло число, е:
което може да бъде намерено чрез полагане на в дупликационанта формула или формулата на отражението, използвайки връзката с бета-функцията, дадена по-долу с , или просто замествайки в интегралното определение на гама-функцията, което води до Гаусов интеграл. По принцип за неотрицателни стойности на имаме:
където обозначава двойния факториел на n.
Може да е примамливо резултатът да се обобщи до , търсейки формула за други индивидуални стойности , при които е рационално число. Обаче, тези числа не са изразими сами по себе си по отношение на елементарните функции. Доказано е, че е трансцендентно число и алгебрическо независимо от за всяко цяло число и за всяка от дробите . По принцип при изчисляването на стойности на гама-функция е добре да се използват числени приближения.
Друга полезна граница за асимптотично приближение е:
Производните на гама-функцията се описват по отношение на полигама-функция. Например:
За положително цяло число производната на гама-функцията може да бъде изчислена така:
Тук е константата на Ойлер – Маскерони. За , -тата производна на гама-функцията е:
Използвайки тъждеството
където е дзета-функция на Риман с части
се получава
Формула на Стирлинг
Поведението на за нарастваща положителна променлива е просто: функцията нараства бързо – по-бързо от експоненциална функция. Асимптотично докато , големината на гама-функцията се извежда от формулата на Стирлинг:
където символът означава, че отношението на двете страни е сходящо към 1 или е асимптотично сходящо.
Остатък Поведението на функцията при неположителни е по-сложно. Ойлеровият интеграл не е сходящ за , но функцията, която определя в положителната комплексна равнина, има уникално аналитично продължение към отрицателната равнина. Един начин да се намери това аналитично продължение е да се използва интеграла на Ойлер за положителни аргументи и да се разшири областта до отрицателните числа чрез постоянно прилагане на рекурсивната формула,
избирайки такова , че да е положително. Произведението в знаменателя е нула, когато е равно на кое да е от целите числа . Оттук, гама-функцията трябва да е неопределена в тези точки, за да се избегне деление на нула. Това е мероморфна фнукция с прости полюси при неположителни цели числа.
Това определение може да бъде пренаписано така:
За функция с комплексна променлива , при прост полюс остатъкът на се извежда чрез:
Когато
и
Така че, остатъците на гама-функцията в тези точки са:
Гама-функцията е ненулева навсякъде по дължина на реалната ос, макар че става произволно близка до нула, докато . Всъщност, не съществува комплексно число , за което и следователно реципрочната гама-функция е цяла функция с нули при .
Минимуми Гама-функцията има локален минимум при , където достига стойност от . Гама-функцията трябва да има редуващ се знак между полюсите, защото произведението в напредващата рекурсивност съдържа нечетен брой отрицателни коефициенти, ако броят полюси между и е нечетен, и четен брой, ако броят полюси е четен.
Разширение чрез ред на Фурие Логаритъмът на гама-функцията има следното разширение чрез ред на Фурие за :
Формула на Раабе През 1840 г. Йозеф Лудвиг Раабе доказва, че
В частност, ако , тогава
Тази формула се използва, когато искаме да получим сходяща версия на формулата на Стирлинг. С помощта на формулата на трапеците може да се покаже, че
Пи-функция Алтернативна нотация, първоначално въведена от Гаус, е пи-функцията, която по отношение на гама-функцията е:
така че за всяко неотрицателно цяло число .
Използвайки пи-функция, формулата на отражение приема формата
където е нормализираната функция sinc, докато теоремата за мултиплициране приема формата
Понякога може да се намери и
което е цяла функция, определена за всяко комплексно число, също както и реципрочната гама функция. Това, че е цяла, ще рече, че няма полюси, така че , също както и , няма нули.
Обемът на n-елипсоид с радиуси може да бъде изразен като
Определени стойности Някои определени стойности на гама-функцията са:
Гама-функцията с комплексни стойности е неопределена за неположителни числа, но в тези случаи стойността може да се определени в Риманова сфера като . Реципрочната гама функция е точно определена и аналитична при този стойности (и в цялата комплексна равнина):
Източници
Категория:Специални функции