Елипсоидът на Якоби е равновесна форма, която може да заеме самогравитиращо течно тяло с равномерна плътност и въртящо се с постоянна ъглова скорост. Този елипсоид има три различни по дължина оси и носи името на немския математик Карл Густав Якоб ЯкобиJacobi, C. G. (1834). Ueber die figur des gleichgewichts. Annalen der Physik, 109(8 – 16), 229 – 233.
История Преди Якоби, определеният през 1742 г. от Маклорен сфероид е бил считан за единствения тип елипсоид, който да е равновесенChandrasekhar, S. (1969). Ellipsoidal figures of equilibrium (Vol. 10, p. 253). New Haven: Yale University Press.Chandrasekhar, S. (1967). Ellipsoidal figures of equilibrium—an historical account. Communications on Pure and Applied Mathematics, 20(2), 251 – 265.. През 1811 г. Жозеф Луи Лагранж Lagrange, J. L. (1811). Mécanique Analytique sect. IV 2 vol. разглежда възможността триосният елипсоид да е в равновесие, но заключава, че двете му екваториални оси трябва да са равни, което е именно решението със сфероид на Маклорен. Якоби установява, че доказаното от Лагранж е само достатъчно, но не и необходимо условие. Той отбелязва: „Човек би направил сериозна грешка, ако предположи, че ротационните сфероиди са единствените допустими фигури в равновесие дори при ограничаващото допускане за повърхности от втора степен“ и добавя: "Всъщност простото разглеждане показва, че елипсоидите с три неравни оси могат също да са равновесни; може да се приеме елипса с произволна форма на екваториалното сечение и да се изчислят третата най-малка ос и ъгловата скорост на въртене така, че елипсоидът да бъде в равновесие." Dirichlet, G. L. (1856). Gedächtnisrede auf Carl Gustav Jacob Jacobi. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 52, 193 – 217.
Формула на Якоби
За елипсоид с полу-главни оси a, b, c ъгловата скорост относно оста се дава с израза
където е плътността и е гравитационната константа, като се удовлетворява условието
За фиксирани стойности на и , горното условие има решение за c:
Интегралите могат да бъдат изразени като непълни елиптични интеграли. Darwin, G. H. (1886). On Jacobi's figure of equilibrium for a rotating mass of fluid. Proceedings of the Royal Society of London, 41(246 – 250), 319 – 336. Ако се използва симетричната форма на Карлсон RJ за елиптичния интеграл, формулата за ъгловата скорост става
и условието за относителния размер на полу-главните оси е
Моментът на импулса на елипсоида на Якоби се дава от израза
където е масата на елипсоида а е средният радиус, радиусът на сфера със същия обем като елипсоида.
Източници
Вижте също сфероид елипсоид
Категория:Хидродинамика Категория:Астрофизика