Формулата на Ойлер е математическа формула от областта на комплексния анализ, показваща дълбоката връзка между тригонометричните функции и комплексната експоненциална функция.
Формулата на Ойлер гласи, че за всяко реално число : , където важи: е — основа на натуралния логаритъм, i — имагинерна единица, и са тригонометрични функции.
Ричард Файнман нарича формулата на Ойлер „скъпоценен камък“ и „най-важната формула в цялата математика“ (Feynman, p. 22-10).
Ако искаме да обясним формулата на Ойлер с най-прости думи, тя описва ротация на единичен вектор на ъгъл .
Извод Уравнението на Ойлер може да бъде изведено по много начини като сред най-елегантните е чрез комплексен интеграл:
Нека z е комплексно число с модул единица в тригонометричен вид.
.
След диференциране и преобразуване, получаваме:
където А е произволна константа, която се определя със следното съображение:
и оттук .
Тъждество на Ойлер В частния случай, когато получаваме:
Ако и , следва, че:
а оттук следва, че:
Източници
Категория:Тригонометрия