Крайното множество е множество, което има ограничен брой елементи. С други думи, това е множество, чиито елементи принципно биха могли да бъдат преброени. Например, е крайно множество с пет елемента. Броят на елементите е естествено число и се нарича кардиналност на множеството. Множество, което има безброй елементи, се нарича безкрайно множество. Например, множеството на всички положителни числа е безкрайно – .
Крайните множества са от особено значение в комбинаториката (математическото изследване на броенето). Много от аргументите, касаещи крайни множества, разчитат на принципа на Дирихле, който гласи, че не може да съществува инективна функция от по-голямо крайно множество към по-малко крайно множество.
Определение Формално, множеството се нарича крайно, ако съществува биекция
за някакво естествено число . Числото е кардиналността на множеството, обозначавана като ||. Празното множество Ø се счита за крайно, имайки нулева кардиналност.
Ако дадено множество е крайно, неговите елементи могат да се запишат по много начини в числова редица:
.
В комбинаториката, крайно множество с елементи понякога се нарича -множество, а подмножество с елементи се нарича -подмножество.
Основни свойства Всяко собствено подмножество на крайно множество S е крайно и разполага с по-малко елементи, отколкото S. Следователно, не може да съществува биекция между крайното множество S и собственото подмножество на S.
Всяка инективна функция между две крайни множества с еднаква кардиналност е също и сюрективна функция. Аналогично, всяка сюрекция между две крайни множества с еднаква кардиналост е също и инекция.
Обединението на две крайни множества също е крайно:
Също така:
В по-общ смисъл, обединението на всеки краен брой крайни множества е крайно. Декартовото произведение на крайни множества също е крайно:
Крайно множество с n елемента има 2 различни подмножества.
Всички крайни множества са изброими, но не всички изброими множества са крайни.
Източници
Категория:Теория на множествата