Критерият за устойчивост на Хурвиц е един от начините за анализ на устойчивостта на линейна стационарна динамична система, разработен през 1895 г. от немския математик Адолф Хурвиц. Заедно с критериите на Раус и Вишнеградски, той е представител на семейството на алгебричните критерии за устойчивост, за разлика от честотните критерии за устойчивост на Найкуист и Михайлов. Предимството на метода е неговата основна простота, недостатъкът е необходимостта от извършване на операцията за изчисляване на детерминанта, която е свързана с определени изчислителни тънкости (например за големи матрици може да се появи значителна изчислителна грешка).

Формулировка Методът работи с коефициентите на характеристичното уравнение на системата. Нека e предавателната функция на системата, а – характеристичното уравнение на системата.

Характеристичният полином се представя във вида

където е комплексен аргумент.

От коефициентите на характеристичното уравнение се съставя детерминантата (матрицата) на Хурвиц , наричана още главен определител, съгласно алгоритъма:

1) по главния диагонал отляво надясно всички коефициенти на характеристичното уравнение се задават от до ;

2) от всеки елемент на диагонала нагоре и надолу колоните на детерминанта се попълват така, че индексите намаляват отгоре надолу;

3) коефициентите с индекси по-малки от нула или по-големи от се заменят с нули.

Размерът на матрицата на Хурвиц се определя от максималната степен на в характеристичното уравнение (т.е. ).

Или явно Гантмахер Ф. Р. – Теория матриц – издание 5-е, М., издательство„Физматлит“, 2010 г., 560 страницы, стр. 463, ISBN 978-5-9221-0524-8.

Критерий на Хурвиц:

Тези минори са съставни детерминанти от 2×2 елемента, разположени по главния диагонал на детерминантата на Хурвиц и се наричат ​​определители на Хурвиц. Изчисляват се по формулата

Примери за определители на Хурвиц за някои характеристични полиноми Най-често срещаните случаи на прилагане на критерия са за характеристични полиноми от 3-та, 4-та и 5-та степен.

Характеристичният полином от пета степен е: . Детерминантата и определителите на Хурвиц ще имат вида:

Характеристичният полином от четвърта степен е: . Детерминантата на Хурвиц се получава от предходната за пета степен чрез премахване на десния стълб и долния ред. Във всички горни изрази се замества

Характеристичният полином от трета степен е: . Детерминантата на Хурвиц се получава от тази за пета степен чрез премахване на 2 десни стълба и 2 долни реда. Във всички горни изрази се замества и

Характеристичният полином от втора степен е: . Детерминантата на Хурвиц се получава от тази за пета степен чрез премахване на 3 десни стълба и 3 долни реда. Във всички горни изрази се замества , и .

Анализ Анализирайки състоянието на критерия на Хурвиц, може да се забележи негово излишество. Броят на неравенствата може да бъде намален наполовина с помощта на теоремата на Лиенард–Шипар. Въпреки това, в изчислително отношение сложността на критерия не намалява значително, тъй като при изчисляване на минор от висок ред най-често е необходимо да се изчислят минорите от по-нисък ред.

Недостатъкът на критерия на Хурвиц е слабата му нагледност. Предимството му е, че е удобен за изпълнение на компютър. Често се използва за определяне на влиянието на един от параметрите на CAУ върху нейната устойчивост. Ако главната детерминанта е нула , системата е на границата на устойчивост. В този случай или – при изпълнение на останалите условия системата е на границата на апериодичната устойчивост, или предпоследният минор – ако всички други минорни са положителни, системата е на границата на колебателната устойчивост. Параметрите на CAУ определят стойностите на коефициентите на уравнението на динамиката, следователно промяната на който и да е параметър влияе на стойността на детерминанта . Чрез изследване на това влияние може да се намери при каква стойност на детерминантата ще стане нула и след това отрицателна. Това ще бъде граничната стойност на изследвания параметър, след което системата става неустойчива.

Автоматизация на метода Методът на Хурвиц е доста удобен за определяне на устойчивостта на връзките с помощта на компютър. В този случай обаче трябва да се има предвид, че прилагането на критерия за системи с по-висок от 5-ти ред може да доведе до значителни грешки, тъй като изчисляването на детерминантите от висок ред е доста сложна операция и води до натрупване на грешки в изчисленията.

Разработено е програмно осигуряване за анализ на устойчивостта на един от най-често срещаните компютърни езици за технически изчисления MATLAB. По-долу е даден пример за автоматизиране на работата на метода с помощта на MATLAB версия 5.3 с неговия синтаксис.

Програмата по-долу извършва всички необходими изчисления. За да работи, тя трябва да бъде поставена в текстов с разширение .m и име, което съответства на името на самата функция, в този случай името на файла трябва да бъде raus_gur.m.

function [Ust, Mnrs, Mtrx] = raus_gur(H) % Определяне на устойчивостта на система по критерия на Раус-Хурвиц, зададен чрез % следната предавателна функция: % % B(p) % W(p) = ----, % H(p) % % където H(p) е характеристичен полином. % % H(p) = a0*p^n + a1*p^(n-1) + a2*p^(n-2) + ... + an % % a0, a1, a2, ..., an - коeфициенти на полинома H(p). % % % Обръщението към функцията RAUS_GUR може да бъде изпълнено по два начина: % % Първи начин. % % [Ust, Mnrs, Mtrx] = RAUS_GUR(H); % % Входни параметри: % H - вектор на коефициентите на знаменателя (характеристичен полином) % % Изходни параметри: % Ust - логически параметър, характеризиращ резултата от работата на функцията: % Ust = 1 - системата е устойчива % Ust = 0 - система е неустойчива % % Mnrs - вектор от стойностите на минорите от по-малък към по-голям размер, % които е необходимо да се изчислят за оценка на устойчивостта по метода на Раус-Хурвиц. % Съгласно метода на Раус-Хурвиц, системата е устойчива, ако всички минори са положителни. % Изчислението на стойността на външния минор няма смисъл, тъй като неговият знак % винаги ще съвпада със знака на предходния минор. % % Mtrx - пълна матрица на Раус-Хурвиц за дадения полином. % % Втори начин. % % [Ust, Mnrs, Mtrx] = RAUS_GUR(W); % % Входни параметри: % W - обект от клас LTI (виж описанието Control System Toolbox) % % Изходни параметри, аналогични на гореописаните. % % % Ако размерът на характеристичния полином е три и по-малко коефициенти, % то изходните параметри Mnrs и Mtrx имат стойност NaN. % % Програмата е предназначена за работа във версията MATLAB 5.3

if isa(H, 'lti') [B, H] = tfdata(H, 'v'); end Ust = 1; if length(H(:)) < 4 Mtrx = NaN; Mnrs = NaN; if any(H(:) <= 0) Ust = 0; end return end H = H(:); n = length(H) - 1; % Размери на матрицата на Хурвиц A = [zeros(n-1, 1); H(end:-1:1); zeros(n-2, 1)]; Mtrx = zeros(n, n); % Празни места в матрицата на Хурвиц Mnrs = zeros(n-2, 1); % Вектор на минорите for i = 1:n Mtrx(:, i) = A((n - i)*2 + 1:3*n - 2*i); end for i = 2:n-1 Mnrs(i-1) = det(Mtrx(1:i,1:i)); end if any([H(:); Mnrs(:)] <= 0) Ust = 0; end

Пример Дадена е предавателната функция:

Тогава извикването на горната функция ще изглежда така:

[A, B, C] = raus_gur([1 16 95 260 324 144]) Резултат от изчисленията: A = 1 B = 1260 246960 63504000 C = 16 260 144 0 0 1 95 324 0 0 0 16 260 144 0 0 1 95 324 0 0 0 16 260 144

Тъй като A = 1, то системата е устойчива.

Векторът В съдържа стойностите на диагоналните определители от 2×2 до 4×4, първият елемент няма значение, а стойността на външния определител винаги ще има същия знак, както предходния. Съгласно метода на Хурвиц, за да бъде системата устойчива, всички тези определители трябва да са положителни.

Матрицата С е главният определител – детерминантата на Хурвиц.

Тази функция може да се използва в математически пакети, които имат синтаксис, подобен на MATLAB или с малка модификация.

Система е на границата на апериодична устойчивост, ако коефициентът .

Система е на границата на колебателна устойчивост, ако предпоследният минор .

Вижте също Критерий за устойчивост на Вишнеградски Критерий за устойчивост на Раус Критерий за устойчивост на Найкуист Критерий за устойчивост на Михайлов Критерий за устойчивост на Боде Маркеры устойчивости линейных динамических систем Критерий за устойчивост в пространството на състоянията ЛАФЧХ

Източници

Категория:Критерии за устойчивост Категория:Устойчивост Категория:Динамични системи Категория:Динамика Категория:Автоматизация