Кръговата система е състезателна система в спорта, при която всеки участник в турнира играе равен брой пъти срещу всеки друг участник в един или няколко цикъла.Webster's Third New International Dictionary of the English Language, Unabridged (1971, G. & C. Merriam Co), p.1980. Тя е популярна в отборните спортове (футбол, волейбол, хандбал, баскетбол, хокей и др.), особено в национални първенства и квалификационни турнири за световни или континентални първенства. Нарича се още кръгов турнир, най-вече в шахмата, където се използва широко както за отборни, така и за индивидуални състезания. Прилага се и в други спортове: тенис, тенис на маса, билярд, електронни спортове и др.

Ако участниците играят по веднъж помежду си всеки срещу всеки, турнирът е в един цикъл и в този смисъл се нарича единичен; ако играят по два пъти при разменени условия (домакин/гост или бели/черни фигури в шаха), турнирът е в два цикъла и се нарича двоен. Терминът рядко се използва, когато всички участници играят един срещу друг повече от два пъти, и никога не се използва, когато един участник играе с другите неравен брой пъти.Webster's Third New International Dictionary of the English Language, Unabridged (1971, G. & C. Merriam Co), p.1980. Кръговата система се счита за най-справедлива, но също така изисква по-голям брой мачове за определяне на местата в сравнение с други турнирни системи.

Ред на разиграване Редът, в който противниците играят един с друг при кръговата система, е от малко значение. Двойките за следващия кръг обаче обикновено се определят чрез жребий. Понякога редът на мачовете се определя, както следва: на всеки от N участници се присвоява номер от 1 до N. Ако броят на участниците е четен, т.е. N = 2K, тогава числата от 1 до K се записват в дясната колона отгоре надолу, а числата K + 1 до N се записват в лявата колона отдолу нагоре. Участниците, чиито номера са написани един срещу друг, играят така в първия кръг. След това продължават по два варианта: кръгов метод и таблици на Бергер.

Кръгов метод (Плъзгаща система) Кръговият метод е прост алгоритъм за създаване на график за турнир по кръгова система. След като на всички състезатели се присвоят номера, те се сдвояват по описания начин в първия кръг:

Кръг 1. (1 играе с 14, 2 с 13, ... ) 1 2 3 4 5 6 7 14 13 12 11 10 9 8 За да се съставят подобни таблици за следващите кръгове, един от състезателите се фиксира, например № 1 се оставя на мястото си, а всички останали номера се преместват кръгово по часовниковата стрелка, стъпка по стъпка. Всъщност и заради тази последна процедура системата за състезание се нарича кръгова. Ако броят на участниците е нечетен, се добавя номер нула и след това за получения набор от числа, чийто брой вече е четен, се извършват горните процедури. Във всеки кръг участникът, който трябва да играе срещу № 0 , е свободен в този кръг и не играе.

Кръг 2. (1 с 13, 14 с 12, ... ) 1 14 2 3 4 5 6 13 12 11 10 9 8 7

Кръг 3. (1 с 12, 13 с 11, ... ) 1 13 14 2 3 4 5 12 11 10 9 8 7 6

Това се повтаря, докато следващата итерация не доведе до първоначалните сдвоявания::

Кръг 13. (1 с 2, 3 с 14, ... ) 1 3 4 5 6 7 8 2 14 13 12 11 10 9

При четен брой конкуренти , този алгоритъм реализира всяка възможна комбинация от тях (еквивалентно на това, че всички реализирани двойки са различни).

Първо, алгоритъмът очевидно реализира всяка възможна двойка конкуренти, в която може да участва № (неподвижният конкурент).

След това, за другите двойки, в които не участва № , разстоянието между конкурентите е при извършване на пълното въртене, за да може единият конкурент да достигне позицията, която е имал другият. В дадения пример , а № има разстояние до № и до № и има разстояние до № и до №; ().

В един кръг, не най-лявата позиция (без ) може да бъде заета само от състезатели с фиксирано разстояние. В кръг на примера, на втората позиция състезател играе срещу , чието разстояние е . В кръг тази позиция се заема от състезатели и , също имащи разстояние и т.н. По подобен начин, следващата позиция ( срещу в кръг , срещу в кръг и т.н.) може да заеме само състезатели с фиксирано разстояние – .

За всяко тук има точно двойки на разстояние . Има кръга и всички те реализират една двойка с разстояние на една и съща позиция. Очевидно е, че тези двойки са по сдвоени различно. Изводът е, че всяка двойка с разстояние е реализирана.

Това важи за всяко , следователно всяка възможна двойка е реализирана.

Горните и долните редове или лявата и дясна позиция в двойката могат да означават домакин/гост в спортните игри, бели/черни фигури в шахмата и т.н.; за да се гарантира справедливост, това трябва да се редува в кръговете, тъй като фиксираният състезател № 1 винаги е на първа позиция. По-сложните ограничения за график може да изискват по-сложни алгоритми.

Този график на кръговата система, известен още като Въртележка–Бергер, във Франция се нарича Плъзгаща система Бергер (), Метод на лентата () или Метод на полигона (), а в Германия – Плъзгаща система ().

Графикът може да се използва и за „асинхронни“ турнири по кръгова система, където всички игри се провеждат по различно време (например, защото има само едно място за провеждане). Игрите се играят последователно във всеки кръг и от първия до последния кръг. Когато броят на състезателите е четен, този график се представя добре по отношение на показатели за качество и справедливост, като например времето за почивка между игрите. От друга страна, когато броят на състезателите е нечетен, той не се представя толкова добре и друг график е по-добър по отношение на тези показатели.

Таблици на Бергер Бергеровите таблици са кръстени на австрийския шахматен майстор Йохан Бергер и се използват широко при планирането на турнири. (съдържание на страница) Бергер публикува таблиците за сдвояване в двата си сборника „Schach-Jahrbücher“ („Шахматни анали“), с надлежното позоваване на техния изобретател Рихард Шуриг.

+ График на игрите по кръгове при 14 участници Кръг 1 1 – 14 2 – 13 3 – 12 4 – 11 5 – 10 6 – 9 7 – 8 Кръг 2 14 – 8 9 – 7 10 – 6 11 – 5 12 – 4 13 – 3 1 – 2 Кръг 3 2 – 14 3 – 1 4 – 13 5 – 12 6 – 11 7 – 10 8 – 9 ... ... Кръг 13 7 – 14 8 – 6 9 – 5 10 – 4 11 – 3 12 – 2 13 – 1 Това представлява график, където играч 14 има фиксирана позиция в първата двойка, а всички останали играчи се редуват обратно на часовниковата стрелка на позиции. Този график лесно се създава ръчно. За да се състави за следващият кръг, последният играч, номер 8 в първия кръг, се премества начело на списъка в първата двойка срещу фиксирания играч 14, като измества от там предишния му противник 1 в следващата, втора двойка. Неговото място в последната двойка се заема от съответния играч 9 от предпоследната двойка, която става втора, а двамата играчи от старата втора двойка попълват освободените места в последните две двойки: първият 2 в последната, а вторият 13 в предпоследната. При това се разменят позициите на играчите в двойката. Аритметично това се равнява на добавяне на към предишния ред, с изключение на играч . Когато резултатът от събирането е по-голям от , тогава се изважда от сумата. Този цикъл се повтаря всеки следващ кръг.

Този график може да бъде представен и като таблица , изразяваща кръг, в който играчите се срещат помежду си. Например, играч 7 играе срещу играч 11 в кръг 4. Ако играч срещне себе си, това показва почивка или игра срещу играч . Всички игри в един кръг образуват диагонал в таблицата.

+ Диагонална схема Игра-чи 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 11 12 13 Графикът на кръговия турнир е представен в следващите таблица и диаграма.

+ Таблица за графика на кръговия турнир × 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 3 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 4 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 6 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 7 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 8 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 9 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 10 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 13 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

+ Двоен кръгов турнир по таблица на Бергер с 8 играчи на Световното първенство по шахмат 2005 г. № по жребийУчастнициПърви цикълВтори цикъл Поб.+ Рав. = Заг. – Точки Място 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 81 Леко♔½01½1½0♔0½½0½1½ +3=7-46½V2 Морозевич½♔0½1½½01♔0½½½1½ +3=8-37IV3 Свидлер11♔1½½½0½1♔½½½½½ +4=9-18½III4 Полгар0½00½10½½½0½0½ +1=7-64½VIII5 Ананд½0½1♔10½1½½1♔½1½ +5=7-28½II6 Адамс0½½½0♔½0½½½½½♔½½ +0=11-35½VII7 Касимджанов½½½01½♔000½10½♔½ +2=7-55½VI8 Топалов1111½11♔½½½½½½½♔ +6=8-010I

Мнемоника За лесно запомняне на този метод може да се използва следната мнемоника. Започвайки от първия кръг, място = 1 ╭────────────────────────────────────────────────────┐ 1—ω >>> 2—13 >>> 3—12 >>> 4—11 >>> 5—10 >>> 6—9 >>> 7—8 се изгражда следващият кръг: ω—8 >>> 9—7 >>> 10—6 >>> 11—5 >>> 12—4 >>> 13—3 >>> 1—2 и след това 2—ω >>> 3—1 >>> 4—13 >>> 5—12 >>> 6—11 >>> 7—10 >>> 8—9 ω—9 >>> ... Ако броят на играчите е нечетен, играчът на първото място получава почивка. Ако броят е четен, добавеният играч (ω) става противник.

Таблици на Шуриг Оригинална конструкция на таблици за сдвояване е създал Рихард Шуриг през 1886 г. За четно число или нечетно число състезатели, Шуриг изгражда таблица с вертикални реда и хоризонтални реда. След това той я попълва, започвайки от горния ляв ъгъл, като повтаря поредицата от числа от 1 до . Ето примерна таблица за 7 или 8 състезатели: Кръг 1 1 2 3 4 Кръг 2 5 6 7 1 Кръг 3 2 3 4 5 Кръг 4 6 7 1 2 Кръг 5 3 4 5 6 Кръг 6 7 1 2 3 Кръг 7 4 5 6 7

След това, за да се получат опонентите, се изгражда втора таблица. Всеки хоризонтален ред се попълва със същите числа като ред в предишната таблица (последният ред се попълва с числата от първия ред в оригиналната таблица), но в обратен ред (отдясно наляво). Кръг 1 – 1 – 7 – 6 – 5 Кръг 2 – 5 – 4 – 3 – 2 Кръг 3 – 2 – 1 – 7 – 6 Кръг 4 – 6 – 5 – 4 – 3 Кръг 5 – 3 – 2 – 1 – 7 Кръг 6 – 7 – 6 – 5 – 4 Кръг 7 – 4 – 3 – 2 – 1

Чрез обединяване на горните таблици се получава: Кръг 1 1 – 1 2 – 7 3 – 6 4 – 5 Кръг 2 5 – 5 6 – 4 7 – 3 1 – 2 Кръг 3 2 – 2 3 – 1 4 – 7 5 – 6 Кръг 4 6 – 6 7 – 5 1 – 4 2 – 3 Кръг 5 3 – 3 4 – 2 5 – 1 6 – 7 Кръг 6 7 – 7 1 – 6 2 – 5 3 – 4 Кръг 7 4 – 4 5 – 3 6 – 2 7 – 1

След това първата колона се актуализира: ако броят на състезателите е четен, номерът на играча се замества последователно за първата и втората позиция, докато ако броят на състезателите е нечетен, се използва празен кръг.

Таблиците за сдвояване са публикувани като приложение относно организацията на провеждането на майсторски турнири. Шуриг не е предоставил доказателство, нито мотивация за своя алгоритъм.

Параметри и класиране При четен брой N участници всеки кръг се състои от N/2 игри. При единичен турнир всеки участник трябва да изиграе с другите N–1 игри, което води до N–1 кръга. Общо се играят игри.В. Григоревич – Организация и судейство соревнований по волейболу, Методическое пособие. Гродненский Университет, 2008 (на руски). Пример: 8 играчи, 7 кръга от по 4 игри, общо 28 игри. При нечетен брой N участници всеки кръг се състои от (N–1)/2 игри, защото един участник няма противник. Всеки участник изиграва N–1 игри в N–1 кръга и в един кръг почива, което води до N–1+1=N кръга. Така броят на игрите при единичен турнир е отново . Пример: 9 играчи, 9 кръга от по 4 игри, общо 36 игри.