Универсалното тригонометрично заместване е изразяване на всички тригонометрични функции чрез тангенса или котангенса от половината ъгъл. То позволява преобразуване на рационална функция на тригонометрични функции на аргумента в обикновена рационална функция на аргумента чрез задаване на полагането . Това е вариант на интегриране чрез заместване (субституция), който може да се прилага към интеграли от тригонометрични функции.
Заместването е описано в повечето учебници по интегрално смятане от края на 19-ти век, обикновено без специално наименование.Например, в хронологичен ред: Hermite, Charles (1873). Cours d'analyse de l'école polytechnique (in French). Vol. 1. Gauthier-Villars. p. 320. Johnson, William Woolsey (1883). An Elementary Treatise on the Integral Calculus. MacMillan. p. 52. Picard, Émile (1901) . Traité d'analyse (in French). Vol. 1 (2e ed.). Gauthier-Villars. p. 77. Goursat, Édouard (1904) . A Course in Mathematical Analysis. Vol. 1. Translated by Hedrick, Earle Raymond. Ginn. pp. 236ff. Wilson, Edwin Bidwell (1911). Advanced Calculus. Ginn. p. 21. Edwards, Joseph (1921). A Treatise on the Integral Calculus. Vol. 1. MacMillan. pp. 187–188. Courant, Richard (1937) . Differential and Integral Calculus. Vol. 1. Translated by McShane, E. J. (2nd ed.). Blackie & Son. pp. 234–238. Peterson, Thurman S. (1950). Elements of Calculus. Harper & Brothers. pp. 201–202. Apostol, Tom M. (1967) . Calculus. Vol. 1 (2nd ed.). Xerox. pp. 264–265. Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; Edwards, Bruce H. (1998) . Calculus of a Single Variable (6th ed.). Houghton Mifflin. p. 520. ISBN 9780395885789. Rogawski, Jon (2011) . Calculus: Early Transcendentals (2nd ed.). Macmillan. p. 435. ISBN 9781429231848. Известно е като „универсално тригонометрично заместване“, а също и с варианти на имена като заместване на полутангенса или заместване на полуъгъл. Понякога погрешно се приписва като заместване на ВайерщрасПрез 1966 г. Уилям Еберлайн приписва това заместване на Карл Вайерщрас (1815 – 1897): Eberlein, William Frederick (1966). "The Circular Function(s)". Mathematics Magazine. 39 (4): 197–201. doi:10.1080/0025570X.1966.11975715. JSTOR 2688079. („Уравнения (3) [], (4) [], (5) [] са, разбира се, познатите замествания на полуъглите, въведени от Вайерщрас за интегриране на рационални функции на синус, косинус.“)
Две десетилетия по-късно Джеймс Стюарт споменава Вайерщрас, когато обсъжда заместването в популярния си учебник по математически анализ, публикуван за първи път през 1987 г.: Stewart, James (1987). "§7.5 Rationalizing substitutions". Calculus. Brooks/Cole. p. 431. ISBN 9780534066901. („Немският математик Карл Вайерщрас (1815–1897) забелязва, че заместването t = tg(x/2) ще превърне всяка рационална функция от sin x и cos x в обикновена рационална функция.“)
По-късни автори, цитирайки Стюарт, понякога наричат това заместване на Вайерщрас, например: Jeffrey, David J.; Rich, Albert D. (1994). "The evaluation of trigonometric integrals avoiding spurious discontinuities". Transactions on Mathematical Software. 20 (1): 124–135. doi:10.1145/174603.174409. S2CID 13891212. Merlet, Jean-Pierre (2004). "A Note on the History of Trigonometric Functions" (PDF). In Ceccarelli, Marco (ed.). International Symposium on History of Machines and Mechanisms. Kluwer. pp. 195–200. doi:10.1007/1-4020-2204-2_16. ISBN 978-1-4020-2203-6. Weisstein, Eric W. (2011). "Weierstrass Substitution". MathWorld. Retrieved 2020-04-01.
Нито Еберлайн, нито Стюарт предоставят доказателства за приписването на Вайерщрас. Свързано заместване се появява в „Математически трудове“ на Вайерщрас, от лекция от 1875 г., където Вайерщрас приписва на Карл Гаус (1818) идеята за решаване на интеграл от вида чрез заместването Weierstrass, Karl (1915) . "8. Bestimmung des Integrals ...". Mathematische Werke von Karl Weierstrass (in German). Vol. 6. Mayer & Müller. pp. 89–99., въпреки че това име не е напълно оправдано..., особено след като техниката вече е била използвана от Леонард Ойлер (1707 – 1783), следователно преди раждането на Вайерщрас.
Изразяване на тригонометричните функции Всяка тригонометрична функция може да бъде изразена чрез тангенса или котангенса от половината ъгъл: + Универсално тригонометрично преобразуване
Тъждествата от универсалното тригонометрично преобразуване се получават от формулите за изразяване на тригонометричните функции чрез тригонометрични функции на половината аргумент
Например за синуса и косинуса се въвеждат знаменатели, равни на единица, чрез основното тъждество и след това се разделят числителя и знаменателя на :
От тук се получават формулите и за останалите тригонометрични функции, отчитайки, че
и
Заместване Ако се положи или , тригонометричните функции на аргумента се заместват със следните изрази:
+ Заместване на универсално тригонометрично изразяване чрез тангенс + Заместване на универсално тригонометрично изразяване чрез котангенс
Приложение при интегриране
При заместването след диференциране се получава
откъдето
Така при решаване на интеграли от тригонометрични функции те се преобразуват във вида:
Примери Интеграл от косеканс
Този резултат може да се потвърди, използвайки стандартен метод за изчисляване на косекансния интеграл, като се умножи числителя и знаменателя по и се замести с .
Тези два отговора са еднакви, защото
Интеграл от секанс Интегралът от секанс може да се изчисли по подобен начин:
Подинтегралната функция се разлага на дроби:
Така
Интеграл от синус и косинус в знаменател
ако Частен случай Общото заместване е подходящо за елиминиране на тригонометрични функции при изчисляване на интеграл, както показва следващият пример.
Този интеграл вече може да се изчисли чрез допълнително интегриране чрез заместване. Резултатът е
Обратното заместване с дава
Този резултат е правилен само за ≤ , тъй като има прекъсвания за всички ∈ ℤ. Освен това, тази антидеривативна функция е периодична, въпреки че интегралната функция е положителна навсякъде. Това може да се коригира, като се вземе средната стойност
както е изчислено по-горе и интеграла
както е определено по-горе чрез заместване. Това дава средна стойност на интеграла, равна на нула, а антидеривативната функция става периодична. Обратното заместване след това дава правилния резултат
Определен интеграл Разликата между определено и неопределено интегриране е, че когато изчисляваме определен интеграл, не е задължително да трансформираме получената функция на променливата обратно във функция на променливата , ако правилно променим границите на интегриране. В следващите примери за улеснение зададеният интеграл в -ия пример е означен с .
Пример 1
Ако е в диапазона от 0 до , е в диапазона от 0 до 1/2. Това означава, че величината , равна на , е в диапазона от 0 до 1/2. Тогава можем да намерим границите на интегриране по отношение на променливата :
откъдето
Решавайки квадратно уравнение, получаваме два корена
Възниква въпросът: кой от тези два корена е подходящ за нашия случай? Отговорът може да се намери чрез изследване на поведението на израза
като функция на и като функция на . Когато се променя от 0 до π, функцията се променя от 0 до 1 и след това обратно до 0. Тази функция преминава през стойността 1/2 два пъти: при промяна от 0 до 1 и при промяна обратно от 1 до 0. Когато се променя от 0 до ∞, функцията се променя от 0 до 1 (когато = 1) и след това обратно до 0. Тя преминава през стойността 1/2 при промяна от 0 до 1 и при промяна обратно: първо при и след това отново при
След някои прости алгебрични преобразования получаваме
Чрез отделяне на пълен квадрат получаваме
Въвеждаме нова променлива
откъдето границите на интегриране са: при при
Тогава интегрирането дава
Последната стъпка използва добре познатото тригонометрично тъждество
Пример 2
Един подход е разделяне на интервала и прилагане на заместването . Това заместване обаче има сингулярност при – неопределеност на , което съответства на вертикална асимптота. Следователно, интегралът трябва да бъде разделен в тази точка и да се обработва внимателно:
Забележка: Заместването преобразува дo и дo . Точката съответства на и вертикална асимптота в , така че интегралът се изчислява като граница около тази точка.
Като алтернатива, първо можем да изчислим неопределения интеграл:
От тук за определения интеграл се използва симетрията в интервала :
Следователно, стойността на определения интеграл е:
Геометрия
С промяната на , точката се вие многократно около единичната окръжност с център в (0, 0). Точката
обикаля окръжността само веднъж, когато се приближава от −∞ до +∞, и никога не достига точката (−1, 0), която се приближава гранично, когато се приближава до ±∞. Когато се приближава от −∞ до −1, точката, определена от , преминава през частта от окръжността в третия квадрант, от (−1, 0) до (0, −1). Когато се приближава от −1 до 0, точката следва частта от окръжността в четвъртия квадрант от (0, −1) до (1, 0). Когато се приближава от 0 до 1, точката следва частта от окръжността в първия квадрант от (1, 0) до (0, 1). Накрая, когато се приближава от 1 до +∞, точката следва частта от окръжността във втория квадрант от (0, 1) до (−1, 0).
Ето още една геометрична гледна точка. Начертайте единичната окръжност и нека е точката (−1, 0). Правата през точка (с изключение на вертикалната линия) се определя от нейния наклон. Освен това, всяка от правите (с изключение на вертикалната линия) пресича единичната окръжност точно в две точки, едната от които е точка . Това определя функция от точки на единичната окръжност към наклоните. Тригонометричните функции определят функция от ъгли към точки на единичната окръжност и чрез комбиниране на тези две функции получаваме функция от ъгли към наклони.
Линейно преобразуване на дроби Двата компонента
са съответно реалната и имагинерната част на числото (приемаме, че е реалната част).
За хиперболични функции Подобни формули съществуват и за хиперболични функции. Както при други свойства, споделени между тригонометричните и хиперболичните функции, е възможно да се използват хиперболични тъждества, за да се конструира подобна форма на заместване с хиперболичен тангенс Заместванията са:
Геометрично, тази промяна на променливите е едномерна стереографска проекция на хиперболичната линия върху реалния интервал, аналогично на конформния дисков модел Конформен дисков модел, наричан още конформно-евклидов модел или дисков модел на Поанкаре́ e модел на хиперболичното пространство на Лобачевски. на хиперболичната равнина.
Намирането на като функция на дава връзката между аргумента на хиперболичния тангенс и натуралния логаритъм:
(Съкращението „ar-“ е предпочитано тук пред „arc-“, защото „arc“ се отнася до дължина на дъга, а „ar“ е съкращение за площ. Това е площта между два радиуса и хипербола, а не дължината на дъгата между два радиуса и дъга от окръжност.)
Източници и бележки
Категория:Тригонометрия Категория:Интегрално смятане