Математика (, матема – знание, изучаване, учене) е изучаването на области като количествата (т.е. теория на числата) Определение за „математика“ от Оксфордския речник на английския език, , математически – абстрактни структури (включително пространствените структури) , типовете физично пространство , извършването на изчисления и математически анализ. . Сред математиците и философите съществуват най-разнообразни мнения по въпроса какво изучава математиката, тоест за областта на математиката, от което произтичат различните определения на тази наука . Няма приета дефиниция на математиката.
Математиците търсят определени „образци на шаблони“ и за да формулират нови теореми, аксиоми и типове математически доказателства. Когато откритите и изучени математически структури са базирани на добри (идеални, репетативни или количествено обозрими) модели, може да се използва математическо доказателство при създаването на научни прогнози и предвиждания (predictions) за определени теми, области или обекти.
Интересни дискусии и аргументи първо се появяват в древногръцката математика (а преди това, тоест още от предисторията се използва за изчисляване, измерване и за изучаване на формите и движенията на физическите обекти чрез дедуктивни разсъждения и абстракции), а по-късно математиката се развива в доста сложна и многостранна наука за абстрактни количествени и качествени връзки, форми и структури, с нейните аксиоматични системи от късния XIX век, като вече се приема за обичайно да се разглеждат математическите изследвания като установяване на математическата и научна истината чрез строги дедукции с използване на избрани аксиоми, научни дефиниции и определения.
Математиката е от съществено значение в много области, включително естествени науки, инженерство, медицина, финанси и социални науки. Приложна математика доведе до изцяло нови математически дисциплини, като статистика и теория на игрите. Математиците се занимават с чиста математика (математика заради себе си), без да имат предвид каквото и да било приложение, но практическите приложения за това, което започна като чиста математика, често се откриват по-късно. Ivars Peterson, The Mathematical Tourist, Freeman, 1988, p. 4 „A few complain that the computer program can't be verified properly“, (in reference to the Haken–Apple proof of the Four Color Theorem).
Дефиниции
Аристотел определя математиката като „наука за количеството“. Тази дефиниция е доминираща до XVIII век. James Franklin, „Aristotelian Realism“ (Аристотеловият реализъм) в сп. Philosophy of Mathematics (Философия на математиката), ed. A.D. Irvine, p. 104. Elsevier (2009). През XIX век в математиката все по-дълбоко навлиза формализмът и се появяват абстрактни раздели като теорията на групите и проективната геометрия, които нямат пряка връзка с измерването на количества. Възникналите клонове на математиката не се вместват в класическото определение, затова математици и философи предлагат различни нови дефиниции. Cajori, Florian (1893). A History of Mathematics. // История на математиката. American Mathematical Society (преиздадена 1991). pp. 285 – 6 Някои от тези дефиниции наблягат на дедуктивния характер на математиката, някои – на нейната абстрактност, а други конкретизират определени области от математиката. Понастоящем няма всеобщо приета дефиниция за математика; разминават се мненията дори на професионални математици. При все че математиката е строга наука, тя има и естетическа страна, която я сродява с изкуството. Това разнообразие кара много математици да преустановят всякакви опити за дефиниране на математиката, тъй като я намират за недефинируема, използвайки израза: „Математиката е това, което математиците правят.“
Математиката е тясно свързана с изкуството. Само чрез познаване на пропорции, перспектива и симетрия може се създаде произведение на изкуството. Пример за това е гениалният Леонардо да Винчи, който се е занимавал с математическо систематизиране на природата. Показателна е скицата му Витрувиански човек, където описва пропорциите в човешкото тяло, както и терминът, който въвежда – Златно сечение.
Етимология Думата матема̀тика произлиза от старогръцката дума μάθημα (ма̀тема), която означава „наука, знание, познание“, но още в Древна Гърция се използва и в смисъла на „математическа наука“. Прилагателното μαθηματικός (математикòс) означава „свързан с учението“, но също и „математически“. До около XVII век в Европа под „математика“ повече се е разбирало това, което днес наричаме астрология, но с повишаването на научната ѝ приложимост тя започва да се разглежда самостойно, като дори след време Гаус (1777 – 1855 г.) я нарича „кралицата на всички науки“.
История и развитие
Възникване Известни елементарни представи за количеството и за пространствените форми вероятно са били достояние на човешкия род още от неговата поява. Най-простите операции от този тип (сравняване на разстояния, установяване на липса на предмет сред малка група от предмети) са по силите дори на висшите животни. В процеса на развитие на човека тези първоначално прости представи са се обогатявали и усложнявали. На даден етап е възникнала нуждата от оформянето им в понятия и подреждането на натрупаните знания в стройна система.
Математиката като наука възниква с появата на цивилизования начин на живот през IV – III хил. пр. Хр. Но дори преди този период хората са имали нужда да отброяват разни неща, което съдим по намерени при разкопки сметала, направени от кости.
Първата по-сериозна математика се развива в Древен Египет, Месопотамия и в долината на Инд. На тези места сезонното поведение на големите реки Нил, Тигър и Ефрат и Инд позволява развитието на уседнал, земеделски начин на живот. Това обаче подтиква развитието на астрономията, за да се следи времето и хората да знаят кога да засаждат и прибират реколтата, на аритметиката и на геометрията, които са били нужни за целите на данъчното облагане, строителството, а по-късно намират приложение и във военното дело и изкуството. Основен източник на нашите знания за вавилонската математика са глинените клинописни плочки, а за математиката на Древен Египет – папирусът на Ринд.
Математиката през Античността и Средновековието
По време на египетско-месопотамския период се развиват особено аритметиката, астрономията и елементарната геометрия. Основен проблем през този период е, че повечето математически резултати се използват без доказателства. Първият систематично издържан подход към математиката прилагат древните гърци. Тяхна заслуга е схващането да се използва система от очевидни истини, наричани аксиоми, въз основа на които се доказва верността на по-сложни твърдения, наричани теореми. Древните гърци развиват значително геометрията, теорията на числата, комбинаториката и диофантовата алгебра. Най-важни трудове от тази епоха са съчинението „Елементи“ на Евклид от Александрия и изследванията на Архимед, който използва в геометрична форма методи на математическия анализ.
С възхода на Римската империя, а по-късно и с нашествията на варварски народи към Европа математиката в елинския свят замира. Центърът на развитие се пренася на Изток — в Китай и Индия, а по-късно — в ислямския свят. Най-важното нововъведение на тази школа е използването на така наречените арабски цифри (включително нулата), които всъщност са изобретени от индийците. Позиционната бройна система значително улеснява пресмятанията. През IX век арабите поставят основите на алгебрата в познатия ни днес вид като наука, която се стреми да решава абстрактни задачи и да създава абстрактни модели на често срещани конкретни математически зависимости.
Ренесанс и Просвещение През XIV – XV век в Европа се развиват търговията и икономиката, което дава тласък на изкуството, философията и предприемачеството. Образува се средна класа и отслабва влиянието на Църквата върху обществото. Всичко това оказва влияние върху развитието на науката, в частност математиката.
Големите научни открития През XVI – XVII век се развива астрономията, описано е движението на видимите по онова време планети, а Декарт полага основите на аналитичната геометрия, чрез която орбитите на планетите били изразени с математически формули. По-късно Нютон и Лайбниц поставят основите на диференциалното и интегралното смятане, Нютон формулира основните закони на механиката и чрез тях дава математическо обяснение на движенията на планетите. Този напредък в разбирането на Вселената с помощта на логически издържан математически апарат спомага за развитието на математиката, физиката и техниката през следващите векове.
Индустриалната революция През XVIII и началото на XIX век са положени основите на функционалния анализ (от Ойлер и братята Бернули), теорията на групите (от Абел и Галоа), вариационното смятане (от Ойлер и Лагранж), хармоничния анализ (от Фурие), статистиката и теорията на вероятностите (от Лаплас), диференциалната геометрия (от Риман и Гаус), неевклидовата геометрия (от Лобачевски и Бояй), топологията (от Поанкаре) и др.
Съвременна математика XIX век
През XIX век математиката става все по-абстрактна. Това е времето, в което живее и работи Карл Фридрих Гаус (1777 – 1855). Като оставим настрана множеството негови приноси към науката, в чистата математика той прави революционната работа по функции от комплексни променливи в геометрията и върху конвергенцията на числови редове. Той дава първото задоволително доказателство на Основната теорема на алгебрата и на квадратичния закон за реципрочност.
През този век са развити две форми на неевклидова геометрия, при които постулатът за успоредност не е валиден.
Заедно с откритията в електрониката, машиностроенето и медицината този научен потенциал води до забележителното технологично развитие през XIX – XX век, но и позволява практическото осъществяване на ужаса на двете световни войни.
XX век
Влияние върху развитието на математиката през XX век оказва докладът на Давид Хилберт от 1900 година, в който той формулира 23 нерешени проблема. Част от тях са решени. През 1929 г. Андрей Николаевич Колмогоров предлага аксиоматизация на теорията на вероятностите. Важни резултати в математическата логика и постига Курт Гьодел. В края на века е доказана и Великата теорема на Ферма.
След появата на компютъра, интернет и възможностите за съвместна работа на огромен брой учени, в развитието на математиката все повече се разчита на изчислителната мощ на съвременните компютри и на колективната работа в екип. Така например през 1976 е доказана с помощта на компютър теоремата за оцветяване на равнинна карта само с четири цвята, а в периода 1995 – 2004 екип от повече от 100 учени успяват да направят класификация на крайните прости групи.
XXI век
През 2000 Математическият институт „Клей“ обявява седем Награди за решения на задачи на хилядолетиято (за решаването на която и да е от тях институтът предлага по 1 млн. долара), и през 2003 е доказана Хипотезата на Поанкаре от Григорий Перелман (който отказва да приеме наградата, тъй като е критичен към статуквото в математиката).
Днес повечето списания по математика имат своите онлайн версии и издания, освен хартиените издания, а много списания започват да бъдат издавани само онлайн. Има и засилен стремеж за свободно публикуване (под свободен лиценз), за първи път популяризирано от arXiv.
Актуална тема в математиката е приложението на геометричната алгебра и синтетичната геометрия за химичен синтез (виж физикохимия).
Математически език и подход на разсъждаване Език на математиката