mini|Pi Matematička konstanta se često koristi u matematici i fizici. π je malo slovo grčkog alfabeta i mijenja se sa pi kada je nedostupno. U euklidskoj planimetriji, π se može definisati kao odnos obima i prečnika kruga, ili kao površina kruga poluprečnika 1 (jediničnog kruga). Većina novijih udžbenika definiše π analitički, koristeći trigonometrijske funkcije, naprimjer kao najmanje pozitivno x za koje je sin(x) = 0, ili kao dva puta najmanje pozitivno x za koje je cos(x) = 0. Sve ove definicije su ekvivalentne.
π je također poznato i kao Arhimedova konstantahttps://repozitorij.pfst.unist.hr/islandora/object/pfst:1244/datastream/PDF/download (ne treba mješati sa Arhimedovim brojem) i Ludolphov broj.
Numerička vrijednost π zaokružena na 64 decimalna mjesta je:
3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 5923
Osobine π je iracionalan broj; to jest, ne može se napisati kao odnos dva cijela broja. Ovo je dokazao Johann Heinrich Lambert 1761. godine. Zapravo, ovaj broj je transcendentan, što je dokazao Ferdinand von Lindemann 1882. godine. To znači da ne postoji netrivijalan polinom sa racionalnim koeficijentima, čiji je π korijen.
Važna posljedica transcedentnosti ovog broja je činjenica da nije konstruktibilan. Ovo znači da je nemoguće izraziti π koristeći samo konačan broj cijelih brojeva, razlomaka, i nad njima četiri osnovne i operaciju kvadratnog korjenovanja. Ovo dokazuje da nije moguće izvršiti kvadraturu kruga: nemoguće je konstruisati (koristeći samo lenjir i šestar) kvadrat čija je površina jednaka površini datog kruga. Razlog je taj da su, polazeći od jediničnog kruga i tačke (1,0) na njemu, koordinate svih tačaka koje se mogu konstruisati korištenjem lenjira i šestara konstruktibilni brojevi.
Formule sa π Geometrija π; se pojavljuje u dosta formula u geometriji koje se tiču krugova, elipsi, valjaka, kupa i lopti. Geometrijski oblikFormulaobim kruga poluprečnika r i prečnikaa dPovršina kruga poluprečnika rPovršina elipse sa poluosama a i bZapremina kugle poluprečnika rPovršina vanjskog dijela kugle poluprečnika rZapremina valjka visine H i poluprečnika rPovršina vanjskog dijela valjka visine H i poluprečnika rZapremina kupe visine H i poluprečnika rPovršina kupe visine H i poluprečnika r
Također, ugao od 180° (u stepenima) iznosi π; radijana.
Analiza Dosta formula u analizi sadrži π, uključujući predstavljanja u obliku beskonačnog reda (i beskonačnog proizvoda), integrale i takozvane specijalne funkcije.
François Viète, 1593:
Leibnizova formula:
Ovaj često navođeni beskonačni red najčešće se piše u gornjem obliku, dok je tehnički ispravan zapis:
John Wallis - Valisov proizvod:
Integral vjerovatnoće, poznat iz kalkulusa (Također pogledajte i Funkcija greške i Normalna raspodjela):
Bazelski problem, koji je prvi riješio Leonhard Euler (Također pogledajte i Rimanova zeta-funkcija):
i, uopšte, je racionalni umnožak broja za svako prirodno n.
Vrijednost Gama-funkcije u tački 1/2:
Stirlingova aproksimaciona formula:
Eulerov identitet (kojeg je Richard Feynman nazvao "najizvanrednijom formulom u matematici"):
Osobina Eulerove φ-funkcije:
Površina jedne četvrtine jediničnog kruga:
Kompleksan analiza Spcijalan slučaj Eulerove formule za :
Osnovni slučaj teoreme o ostacima:
Verižni razlomak π; ima puno predstavljanja u obliku verižnih razlomaka, kao što je naprimjer:
Teorija brojeva Neki rezultati iz "Teorije Brojeva":
Vjerovatnoća da su dva slučajno izabrana cijela broja uzajamno prosta je 6/π;2. Vjerovatnoća da je slučajno izabran cijeli broj beskvadratan je 6/π;2. U prosjeku, broj načina da se dati prirodan broj napiše kao zbir dva savršena kvadrata (redosljed sabiraka je bitan) je π;/4.
Ovde, "vjerovatnoća", "prosjek" i "nasumičan" su uzeti u smislu granične vrijednosti; tj. posmatra se vjerovatnoća odgovarajućeg događaja u skupu brojeva {1,2, ... N}, a zatim uzima granična vrijednost te vjerovatnoće kada {N→∞} ({N} je "jako veliko").
Dinamički sistemi/Ergodička teorija U teoriji dinamičkih sistema (Također pogledajte ergodička teorija), za skoro svako realno x0 u intervalu [0,1],
gdje su xi iterirane vrijednosti logističkog preslikavanja za r = 4.
Fizika U fizici, pojava broja π; u formulama je najčešće stvar dogovora i normalizacije. Na primjer, korištenjem uproščene Plankove konstante može se izbjeći pisanje broja π; eksplicitno u velikom broju formula u Kvantnoj mehanici. Zapravo, uprošćena varijanta je i bezičnija, a prisustvo faktora 1/2π; u formulama koje koriste h može se smatrati naprosto uslovljenom uobičajenom definicijom Plankove konstante.
Heisenbergov princip neodređenosti:
Einsteinova jednačina polja opšte teorije relativnosti:
Kulonov zakon za električnu silu:
Magnetna permeabilnost slobodnog prostora:
Vjerovatnoća i statistika U vjerovatnoći i statistici postoji puno raspodjela, čiji analitički izrazi sadrže π;, uključujući: Gustina raspodjele vjerovatnoće za normalnu raspodjelu sa matematičkim očekivanjem μ i standardnom devijacijom σ:
Gustina raspodjele vjerovatnoće za (standardnu) Košijevu raspodjelu:
Treba primijetiti da se, kako je, za svaku Funkciju gustine raspodjele vjerovatnoće f(x), pomoću gornjih formula može dobiti još integralnih formula za π;.
Zanimljiva empirijska aproksimacija broja π zasnovana je na problemu Bufonove igle. Posmatrajmo opit u kojem se igla dužine L baca na ravan na kojoj su označene dvije paralelne prave na međusobnom rastojanju S (gdje je S>L). Ako se igla na slučajan način baci veliki broj (n) puta, od kojih se x puta zaustavi tako da siječe jednu od pravih, onda približnu vrijednost broja π možemo dobiti korištenjem formule
Računanje broja pi pomoću Heronovog trougla Trougao kome su stranice i površina cijeli brojevi zove se Heronov trougao. Pomoću ovog trougla može se prbližno izračunati broj . Za tu svrhu koristićemo funkciju tangens i njezinu osobinu da za jako male vrijednosti argumenta vrijedi
Trougao pomoću kojeg ga računamo ima stranice , i Heron ga spominje u svom djelu "Metrika". Pomoću Heronove formule za
Koristeći kosinusnu teoremu
i formulu
Koristeći formule
dobijamo
Zbog
imamo
Ove relacije pomnožimo sa 2, zatim redom sa 37, 27 i 24, a onda saberemo.
je tačna vrijednost
Historija Simbol "π;" za Arhimedovu konstantu je prvi put uveo 1706. godine matematičar William Jones kada je objavio Novi uvod u matematiku (A New Introduction to Mathematics), mada je isti simbol još ranije korišten da naznači obim kruga. Ova oznaka postala je standardna nakon što ju je usvojio Leonhard Euler. U oba slučaja, 'π;' je prvo slovo riječi π;εριμετρος (perimetros), što znači 'mijeriti okolo' na grčkom jeziku. Na listi detaljnih opisa velikog hrama Solomona, izgrađenog oko 950 godine pne pojavljuje se . To nije sasvim tačna vrijednost i nije čak ni tačna za vrijeme u kom je zapisana, jer su u to vrijeme Egipćani i Mesopotamci već znali da ima vrijednost od . Doduše u odbranu Solomonovim zanatlijama treba primijetiti da su pojedini predmeti, koji su opisani, bili takvog oblika da veliki stepen geometrijske preciznosti nije bio moguć, niti neophodan. U Egiptu postojala je potreba navodnjavanja i organizovane poljoprivredne proizvodnje. Ova potreba bila je veliki podsticaj za razvoj matematike. Iz sačuvanih papirusa saznajemo da su imali razvijene sisteme za računanja i odgovarajuću simboliku. Vješto su baratali sa razlomcima. Najpoznatiji sačuvani papirus je Rindov papirus iz otprilike 1650. godine pne, pokazuje da su Egipćani prilikom računanja površina i zapremina oblih figura koristili za broj . Pisao ga je pisar Ahmes ali on nije bio i autor ovog matematičkog spisa. Ahmes je napisao: Oduzmite prečnika a nad ostatkom konstruišite kvadrat. On će imati istu površinu kao krug. U Ahmesovom papirusu za izračunata je približna vrijednost . Greška je na drugoj decimali. U staroindijskom djelu "Salvasutra" data su matematička pravila za koja se znalo u to vrijeme. Tu se nalaze neke interesantne aproksimacije pomoću osnovnih razlomaka, kao što je( u našoj simbolici) . Baudhajan je uzeo kao vrijednost za , Ariabhata , što je jednako . Euclid govorio je za krug da je to linija, t.j. dužina bez širine. On u svom XII dokazu ukazuje na postojanje broja “Odnos kružnog obima i kružnog prečnika isti je kod svih krugova.” Mi pretpostavljamo da je on znao da je veće od 3 i manje od 4 ali to nije naveo. Arhimed sa Sirakuze dobio je približno da je . Ako uzmemo aritmetičku sredinu njegovih dviju granica dobićemo , greška je . Arhimed je zasluzan za prve dvije decimale broja , Pisac sačuvanih komentara “9 knjiga” Liu Hui nasao je pomoću upisanih i opisanih mnogouglova da je Tsu Ch’ung Chi dao je racionalnu aproksimaciju za koja je tačna do 6 decimalnih mjesta. On je dokazao . Ovo je fantastičan rezultat ali nemamo više podataka. Njegova knjiga, koju je napisao njegov sin, je izgubljena. Claudius Ptolemy dobio je približnu vrijednost za Ovu vrijednost objavio je u svom “Velikom zborniku”, jednom od najvećih djela rimskog aleksandrijskog perioda, koji je još poznatiji pod arapiziranim nazivom “Almagest" AbuJa'far Muhammadibn MusaAl-Khwarizmi ostat će zapamćen po tome što je slučajno dao svoje ime algoritmu, dok je riječ ‘aljabar’ koja se javlja kao naslov jedne njegove knjige preteča današnje riječi algebra. U algebri ovog starog arapskog matematičara o izračunavanju obima kruga čitamo: “Najbolji način jest da se prečnik pomnoži sa . To je najbrži i najlakši način. Allah zna za bolje.” Ghiyath al-Din Jamshid Mas'ud al-Kashi u julu 1424 godine on je objavio “Raspravu o obimu kruga”, rad u kome je izračunao do devet decimala u sistemu brojeva čija je osnova 60 (sistemu koji su za zapis brojeva koristili stari Vavilonci, a koji je i do danas opstao u upotrebi pri izražavanju vremena i mjerenju uglova). Ako njegov račun prevedemo na dekadni sistem zapisa brojeva vidimo da je vrijednost bila izražena sa 16 decimalnih mjesta. François Viète nikad nije bio profesionalni matematičar. Tokom 1592 godine on se bavio problemima tadašnjih tvrdnji da se može izvršiti kvadratura kruga, podjela ugla na tri dijela i konstrukcija kocke duplo veće zapremine u odnosu na datu, korištenjem samo lenjira i šestara. Objavio je knjigu “Supplementum geometriae” (1593), u kojoj se bavi opisom ova tri klasična matematička problema, ali i pokazuje konstrukciju tangente u svakoj tački Arhimedove spirale. U ovoj knjizi, on je izračunao do 10 decimale koristeći poligon sa 6*216 = 393216 stranica. On je predstavio u vidu beskonačnog proizvoda,to je, kako je danas poznato, najranije predstavljanje broja kao beskonačnog. Izražen u našoj simbolici ovaj proizvod izgleda ovako:
Adriaan van Roomen jedan od njegovih najinpresivnijih rezultata bio je izračunavanje broja sa 16 decimalnih mjsta. On je to uradio 1593 godine koristeći 230 -stranicni poligon. Roomen-ovo interesovanje za bilo je direktna posljedica njegovog prijateljstva sa Ludolph van Ceulen-om. Ludolph van Ceulen postao je slavan zbog njegovog izračunavanja broja sa 35 decimalnih mjesta, do koga je došao koristeći poligon sa 262 stranica. Proveo je veći dio svog života računajući i zato ne čudi istorijski podatak da je 35 decimala broja ugravirano na njegovoj nadgrobnoj ploči u crkvi St. Peter’s Church u Lajdenu. Poznato je da je u Njemačkoj broj dugo zvan Ludolfov broj, upravo njemu u čast. Wallis-ova formula, kojom je on utvrdio da se broj može približno predstaviti pomoću beskrajnog proizvoda
Gottfried Wilhelm von Leibniz njegovi engleski prijatelji, pričali su mu o Merkatorovoj kvadraturi hiperbole jedan od ključeva koji je poslužio Njutnu pri pronalasku diferencijalnog računa. Na temelju toga Leibniz je pronašao metodu beskonačnih redova, koju je razvio. Jedan od njegovih pronalazaka je formula
Ova formula nije praktičan način izračunavanja vrijednosti , ali je upadljiva jednostavna veza između i svih neparnih brojeva.
Evo kratke hronologije broja π;: