U matematici, Leibnizovo pravilo za diferencijaciju pod znakom integrala, koja je dobila naziv po Gottfriedu Leibnizu, nam govori da ako imamo integral oblika
tada se, za , derivacija ovog integrala može iskazati kao
uz uslov da su i neprekidne na oblastima oblika
Granice koje su varijable
Općenitiji rezultat, primjenljiv kada su granice integracije a i b, kao i podintegralna funkcija ƒ( x, α ) funkcije parametra α, je:
gdje parcijalna derivacija od f govori da se unutar integrala samo varijacija od ƒ ( x, α ) sa α uzima u obzir pri računanju derivacije.
Trodimenzionalni, vremenski zavisan slučaj
desno|mini|250px|Slika 1: Vektorsko polje F ( r, t ) definisano kroz prostor, i površ Σ ograničena krivom ∂Σkoja se kreće brzinom v po kojoj se polje integriše. Leibnizovog integraciono pravilo za tri dimenzije je:
gdje je: F ( r, t ) vektorsko polje u prostornoj poziciji r u vremenu t Σ je pokretna površ ograničena krivom ∂Σ d A je vektorski element površi Σ d s je vektorski element krive ∂Σ v je brzina kretanja oblasti Σ ∇• je vetor divergencije × je vektorski proizvod Dvostruki integrali su površinski integrali po površi Σ, i linijski integral je po graničnoj krivoj ∂Σ.
Dokazi
Osnovni oblik
Prvo, pretspostavimo da vrijedi
Tada je
Zamjenom u prethodno imamo
Pošto je integracija linearna, možemo pisati dva integrala kao jedan:
Možemo konstantu staviti pod integral, zajedno sa podintegralnom funkcijom
Sada, pošto je podintegralna funkcija u obliku diferencijalnog količnika:
koji se pravda sa uniformna neprekidnost€uniformnom neprekidnošću, te je zbog toga
Reference
Također pogledajte
Pravilo derivacije proizvoda Leibnizovo pravilo (uopćeno pravilo derivacije proizvoda) Diferencijacija pod znakon integrala
Kategorija:Infinitezimalni račun Kategorija:Integralni račun Kategorija:Članci koji sadrže dokaz Kategorija:Gottfried Leibniz Kategorija:Analiza više promjenjivih Kategorija:Diferencijalni račun