U algebri, Leibnizova formula izražava determinantu kvadratne matrice preko permutacija elemenata te matrice. Naziv je dobila prema njemačkom matematičaru Gottfriedu Leibnizu, a formula glasi:
za matricu dimenzije n×n, gdje je sgn sgn funkcija ili permutacije u permutacionoj grupi Sn, koja daje razultat +1 i −1 za parne i neparne permutacije, respektivno.
Druga uobičajna notacija, koja se koristi za ovu formulu, je preko Levi-Civitaovog simbola, te koristi Einsteinovu notaciju, kada postoje:
što je poznatije fizičarima.
Formalni iskaz i dokaz
Teorem
Postoji tačno jedna funkcija
koja je alternativno multilinearno prema kolonama, takvo da je .
Dokaz
Jedinstvenost: Neka bude funkcija, i neka bude matrica dimenzije . Reći ćemo da je -ta kolona matrice , to jest , takvo da je
Također, neka označava -tu vektor kolonu matrice identiteta.
Tada se piše svaki član kao , to jest
.
Pošto je multilinearno, imamo da je
Iz alternacije, slijedi da ako je , tada imamo
Pošto gornja suma uzima u obzir sve moguće šanse poredanih -tostrukosti , i pošto implicira da je F nula, suma se može redukovati iz mnogostrukosti do permutacija kao
Pošto je F alternativno, kolone se mogu zamijenjivati dok ne postane identitet. Sgn funkcija definisana je da broji broj zamijena neophodnih, te da uračuna rezultirajuću promjenu znaka. Na kraju se dobija:
gdje treba da bude jednako .
Zbog toga, ni jedna funkcija pored funkcije definisane preko Leibnizove formule nije multilinearna alternativna funkcija sa .
Postojanje: Sada ćemo pokazati da F, gdje je F funkcija definisana preko Leibnizove formule, ima tri osobine.
Multilinearnost:
Alternativnost:
Sad neka bude mnogostrukost jednaka sa zamijenjenim indeksima i . Slijedi iz definicije funkcije da je .
Konačno, :
Zbog toga samo funkcije, koje su multilinearno alternativne s , su ograničene na funkcije koje su definisane Leibnizovom formulom, koja i sama ima tri osobine. Zbog toga determinanta može biti definisana kao jedina funkcija
sa ove tri osobine.
Također pogledajte Matrica (matematika) Kramerovo pravilo
Reference
Lloyd N. Trefethen and David Bau, Numerical Linear Algebra (SIAM, 1997).
Kategorija:Determinante Kategorija:Linearna algebra Kategorija:Članci koji sadrže dokaz