Negativan broj je bilo koji realan broj koji je manji od nule. Takvi brojevi se često koriste za reprezentaciju količine gubitka ili nedostajanja. Negativan broj je suprotan pozitivnom broju, što znači da kada se ova dva broja saberu rezultat iznosi nulu.
Simboli Slijedeći simboli se koriste u matematici za označavanje skupova negativnih brojeva: Skup negativnih realnih brojeva: Skup negativnih racionalnih brojeva: Skup negativnih cijelih brojeva: ili
Za skup prirodnih brojeva () očigledno ne postoji sličan simbol, sa obzirom da on ne sadrži negativne brojeve.
Negativni brojevi se često koriste za prikazivanje veličine gubitka ili nedostatka. Dug koji se duguje može se posmatrati kao negativna imovina. Ako određena količina, poput naboja elektrona, može imati jedan od dva suprotna smjera, tada se može izabrati – možda i proizvoljno – da se ti smjerovi razlikuju kao pozitivni i negativni.
Negativni brojevi se koriste za opisivanje vrijednosti na skali koja ide ispod nule, kao što su Celzijusova i Fahrenheitova skala za temperaturu.
jer je negacija negacije prvobitna vrijednost. Negativni brojevi se obično pišu sa znakom minus ispred sebe.
−3 predstavlja negativnu količinu veličine tri, a izgovara se i čita kao "minus tri" ili "negativno tri".
Nasuprot tome, broj koji je veći od nule naziva se pozitivan; za nulu se smatra da nije ni pozitivna ni negativna. Pozitivnost broja može se naglasiti stavljanjem znaka plus ispred njega, npr. .
Uopšteno govoreći, negativnost ili pozitivnost broja naziva se njegovim znakom. Svaki realni broj osim nule je ili pozitivan ili negativan.
Nenegativni cijeli brojevi nazivaju se prirodnim brojevima (tj. ), dok se pozitivni i negativni cijeli brojevi (zajedno sa nulom) nazivaju cijelim brojevima . Neke definicije prirodnih brojeva isključuju nulu. U knjigovodstvu se dugovani iznosi često prikazuju crvenim brojevima ili brojem u zagradama, kao alternativni način zapisivanja negativnih brojeva.
Negativni brojevi su se koristili u djelu Devet poglavlja o matematičkoj umjetnosti, koje u svom sadašnjem obliku datira iz perioda kineske dinastije Han (202. p.n.e. – 220. n.e.), ali vrlo moguće sadrži i mnogo stariji materijal. Struik, page 32–33. "In these matrices we find negative numbers, which appear here for the first time in history."Liu Hui (oko 3. vijeka) uspostavio je pravila za sabiranje i oduzimanje negativnih brojeva. Do 7. vijeka, indijski matematičari poput Brahmagupte opisivali su upotrebu negativnih brojeva. Islamski matematičari su dalje razvili pravila za oduzimanje i množenje negativnih brojeva te rješavali probleme s negativnim koeficijentima. Prije nastanka koncepta negativnih brojeva, matematičari poput Diofanta smatrali su negativna rješenja problema "lažnim", dok su jednačine koje su zahtijevale negativna rješenja opisivane kao apsurdne. Zapadni matematičari, poput Leibniza, smatrali su da su negativna brojevi nevažeći, ali su ih i dalje koristili u proračunima.
Brojna prava lijevo|mini Odnos između negativnih brojeva, pozitivnih brojeva i nule često se prikazuje u obliku brojne prave (brojne linije):
Brojevi koji se na ovoj pravoj nalaze desno su veći, dok su brojevi koji se nalaze dalje ulijevo manji. Zbog toga se nula nalazi u sredini, s pozitivnim brojevima s desne strane i negativnim brojevima s lijeve strane.
Primijetite da se negativan broj s većom apsolutnom vrijednošću (veličinom) smatra manjim. Na primjer, iako je (pozitivno) 8 veće od (pozitivnog) 5, što se piše kao:
negativno 8 se smatra manjim od negativnog 5:
Kao rezultat oduzimanja Na negativne brojeve se može gledati kao na rezultat oduzimanja većeg broja od manjeg. Na primjer, negativna trojka je rezultat oduzimanja tri od nule:
Uopšteno govoreći, oduzimanje većeg broja od manjeg daje negativan rezultat, pri čemu je veličina rezultata zapravo razlika između ta dva broja. Na primjer,
jer je
Aritmetika koja uključuje negativne brojeve Znak minus − označava operator kako za binarnu operaciju oduzimanja sa dva operanda (kao u ), tako i za unarnu operaciju negacije s jednim operandom (kao u ili dvaput u ). Poseban slučaj unarne negacije javlja se kada ona djeluje na pozitivan broj, u kojem slučaju je rezultat negativan broj (kao u ).
Dvosmislenost simbola − uglavnom ne dovodi do dvosmislenosti u aritmetičkim izrazima, jer redoslijed operacija dopušta samo jednu ili drugu interpretaciju za svaki −. Međutim, to može dovesti do zabune i otežati čovjeku razumijevanje izraza kada se simboli operatora nalaze jedan pored drugog. Rješenje može biti stavljanje unarnog minusa u zagradu zajedno sa njegovim operandom.
Na primjer, izraz može biti jasniji ako se napiše kao (iako formalno znače potpuno istu stvar). Izraz oduzimanja je drugačiji izraz koji ne predstavlja iste operacije, ali daje isti krajnji rezultat.
Sabiranje Sabiranje dva negativna broja je vrlo slično sabiranju dva pozitivna broja.
Ideja je da se dva duga mogu kombinovati u jedan jedinstveni dug veće vrijednosti.
Kada se sabire mješavina pozitivnih i negativnih brojeva, na negativne brojeve se može gledati kao na pozitivne količine koje se oduzimaju.
U prvom primjeru, potraživanje (kredit) od 8 kombinuje se s dugom od 3, što daje ukupno potraživanje od 5. Ako negativni broj ima veću vrijednost, rezultat je negativan:
Ovdje je potraživanje manje od duga, pa je neto rezultat dug.
Oduzimanje Kao što je gore navedeno, moguće je da oduzimanje dva nenegativna broja da negativan odgovor:
Uopšteno govoreći, oduzimanje pozitivnog broja daje isti rezultat kao i sabiranje negativnog broja jednake veličine. Dakle,
i
S druge strane, oduzimanje negativnog broja daje isti rezultat kao i sabiranje pozitivnog broja jednake veličine. (Ideja je da je gubitak duga isto što i sticanje potraživanja/kredita.) Dakle,
i
Množenje Množenje negativnim brojem može se posmatrati kao promjena smjera vektora čija je veličina jednaka apsolutnoj vrijednosti proizvoda (umnoška) faktora. Kada se brojevi množe, veličina proizvoda je uvijek jednaka proizvodu dvije veličine faktora. Znak proizvoda se određuje prema sljedećim pravilima:
Proizvod jednog pozitivnog i jednog negativnog broja je negativan. Proizvod dva negativna broja je pozitivan.
Dakle,
i
Razlog koji stoji iza prvog primjera je jednostavan: sabiranje tri broja zajedno daje :
Obrazloženje za drugi primjer je složenije. Ideja je ponovo u tome da je gubitak duga isto što i sticanje potraživanja (kredita). U ovom slučaju, gubitak dva duga od po tri zarezom je isto što i sticanje potraživanja od šest:
Konvencija da je proizvod dva negativna broja pozitivan također je neophodna kako bi množenje pratilo distributivni zakon. U ovom slučaju znamo da je:
Pošto je , proizvod mora biti jednak 6.
Ova pravila vode do drugog (ekvivalentnog) pravila — znak bilo kojeg proizvoda a × b zavisi od znaka broja a na sljedeći način:
ako je a pozitivan, tada je znak proizvoda a × b isti kao znak broja b, i ako je a negativan, tada je znak proizvoda a × b suprotan znaku broja b.
Opravdanje zašto je proizvod dva negativna broja pozitivan broj može se uočiti i u analizi kompleksnih brojeva.
Dijeljenje Pravila za znakove kod dijeljenja su ista kao i za množenje. Na primjer,
i
Ako djeljenik (dividend) i djelilac (divisor) imaju isti znak, rezultat je pozitivan; ako imaju različite znakove, rezultat je negativan.
Negacija i apsolutna vrijednost Negativna verzija pozitivnog broja naziva se njegovom negacijom. Na primjer, −3 je negacija pozitivnog broja 3. Zbir broja i njegove negacije jednak je nuli:
To znači da je negacija pozitivnog broja zapravo aditivni inverz (suprotni element) tog broja.
Koristeći algebru, ovaj princip možemo zapisati kao algebarski identitet:
Ovaj identitet važi za bilo koji pozitivan broj x. On se može proširiti tako da važi za sve realne brojeve tako što ćemo definiciju negacije proširiti na nulu i negativne brojeve. Konkretno:
Negacija broja 0 je 0, i Negacija negativnog broja je odgovarajući pozitivan broj.
Na primjer, negacija broja −3 je +3. Uopšteno govoreći:
Apsolutna vrijednost broja je nenegativni broj iste veličine. Na primjer, apsolutna vrijednost broja −3 i apsolutna vrijednost broja 3 su jednake i iznose 3, dok je apsolutna vrijednost broja 0 jednaka 0.
Slično kao i kod racionalnih brojeva, skup prirodnih brojeva možemo proširiti na skup cijelih brojeva tako što ćemo cijele brojeve definisati kao uređeni par prirodnih brojeva (a, b). Sabiranje i množenje možemo proširiti na ove parove pomoću sljedećih pravila:
Na ovim parovima definišemo relaciju ekvivalencije ~ pomoću sljedećeg pravila:
ako i samo ako je
Ova relacija ekvivalencije je kompatibilna sa sabiranjem i množenjem definisanim iznad, pa skup cijelih brojeva možemo definisati kao faktor-skup (količnički skup). To znači da dva para (a, b) i (c, d) smatramo identičnim ako su ekvivalentni u gore navedenom smislu. Primijetite da skup , opremljen ovim operacijama sabiranja i množenja, predstavlja prsten, i zapravo je prototipski primjer prstena.
Također možemo definisati i totalni poredak na skupu pišući:
(a, b) ≤ (c, d) ako i samo ako je a + d ≤ b + c.
Ovo dovodi do aditivne nule u obliku (a, a), aditivnog inverza za par (a, b) u obliku (b, a), multiplikativne jedinice u obliku (a + 1, a), kao i do definicije oduzimanja:
Ova konstrukcija je poseban slučaj Grothendieckove konstrukcije.
Jedinstvenost Aditivni inverz nekog broja je jedinstven, što se vidi iz sljedećeg dokaza. Kao što je već spomenuto, aditivni inverz broja definisan je kao vrijednost koja, kada se sabere s tim brojem, daje nulu.
Neka je x broj i neka je y njegov aditivni inverz. Pretpostavimo da je y' još jedan aditivni inverz broja x. Po definiciji:
Iz toga slijedi da je x + y' = x + y. Koristeći zakon skraćivanja (kancelacije) za sabiranje, vidi se da je y' = y. Dakle, y je jednak bilo kojem drugom aditivnom inverzu broja x. To znači da je y jedinstveni aditivni inverz broja x.
Također pogledajte Pozitivan broj
Kategorija:Brojevi Kategorija:Cijeli brojevi Kategorija:Elementarna aritmetika