U mašinstvu, izvijanje je matematička nestabilnost koja vodi ka lomu konstrukcije. Teoretski, izvijanje je uzrokovano razdvajanjem u rješenju jednačina statičke ravnoteže. U određenoj fazi pod sve većim opterećenjem, dodatno opterećenje je u mogućnosti da se održi u jednom od dva stanja ravnoteže: u nedeformiranom ili bočno deformiranom stanju.
U praksi, izvijanje je opisano iznenadnim lomom mašinskog elementa podvrgnutom visokim pritiscima, gdje su stvarni pritisci na mjestu loma manji od konačnih pritisnih napona koje je materijal sposoban izdržati. Matematička analiza izvijanja često se koristi za osovinsko opterećenje ekscentričnosti koja uvodi sekundarni moment savijanja, a koji nije dio osnovne primijenjene sile kojom je element opterećen. Kako se primijenjeno opterećenje povećava na elementu, kao što je stub, ono će u konačnici postati dovoljno veliko da izazove nestabilnost elementa i tada se kaže da je element izvijen. Dodatna opterećenja će uzrokovati značajne (i donekle nepredvidljive) deformacije, što može dovesti do potpunog gubitka teretne nosivosti elementa. Ako deformacije koje slijede izvijanje nisu katastrofalne, element će i dalje nositi teret koji je uzrokovao njegovo izvijanje. Ako je izvijeni element dio većeg sklopa komponenti, kao što su zgrade, bilo koje opterećenje koje djeluje na konstrukciju poslije uzroka izvijanja elementa, rasporedit će se unutar konstrukcije.
Stubovi i štapovi thumb|Stub pod koncentričnim osovinskim opterećenjem izlaže karakteristične deformacije izvijanja thumb|Slika 1. Ekscentričnost aksijalne snage rezultira u djelovanju momenta savijanja na gredu. Odnos efektivne dužine stuba prema najmanjem radijusu okretanja poprečnog presjeka dijela naziva se omjer vitkosti (ponekad označen grčkim slovom lambda, λ). Ovaj odnos pruža način razvrstavanja stubova. Omjer vitkosti je važan po pitanju dizajna. Sve slijedeće vrijednosti su približne vrijednosti korištene radi pogodnosti. Kratki čelični stub je onaj kod kojeg omjer vitkosti ne prelazi 50; čelični stubovi srednje dužine imaju omjer vitkosti između cca. 50 do 200, i uglavnom su okarekterizirani ograničenjem snage materijala, dok se za duge čelične stubove može pretpostaviti da imaju omjer vitkosti veći od 200 i njihovo ponašanje dominira modulom elastičnosti materijala. Kratki betonski stub je onaj koji ima omjer nepoduprte dužine prema najmanjoj dimenziji poprečnog presjeka jednak ili manji od 10. Ako je omjer veći od 10, onda se smatra dugim stubom (ponekad i kao vitki stub). Drveni štapovi mogu biti klasificirani kao kratki stubovi ako je omjer dužine prema najmanjoj dimenziji poprečnog presjeka jednak ili manji od 10. Razdvajajuća linija između srednjih i dugih drvenih štapova može biti lahko procijenjena. Jedan način definiranja donje granice dugih drvenih štapova bi bio postavljanje istog kad bi najmanja vrijednost omjera dužine prema najmanjoj dimenziji poprečnog presjeka upravo prelazila određenu konstantu K materijala. Pošto K zavisi od modula elastičnosti i dopušteni napon pritiska je paralelan površini, može se vidjeti da ova proizvoljna granica može varirati zavisno od vrste drveta. Vrijednost K je data u mnogim konstruktorskim priručnicima.
Ako je napon na štap djelovao kroz centar gravitacije (centroid) poprečnog presjeka istog, to se onda zove aksijalni napon. Napon na bilo kojoj drugoj tački na presjeku je poznat kao ekscentrični napon. Kratki štap pod dejstvom aksijalnog napona će puči zbog direktne kompresije prije nego se izvije, ali duži štapovi opterećeni na isti način će se slomiti zbog izvijanja (savijanja), jer je izvijajući efekt tako velik da se aksijalno opterećenje može zanemariti. Srednje dugi štapovi će se slomiti zbog kombinacije pritisnog i savojnog napona.
Godine 1757, matematičar Leonhard Euler je izveo formulu koja daje maksimalno osovinsko opterećenje koje dugi, vitki, idealni stub može nositi bez izvijanja. Idealan stub je onaj koji je savršeno ravan, homogen i bez početnog napona. Maksimalno opterećenje, ponekad se naziva kritično opterećenje, uzrokuje da stubovi budu u stanju nestabilne ravnoteže; tj, uvođenje najmanje bočne sile će uzrokovati da stub pukne od izvijanja. Formula koju je izveo Euler za stubove bez razmatranja bočnih sila dat je u nastavku. Međutim, ako se uzme u obzir vrijednost bočnih sila, kritično opterećenje ostaje približno isto.
gdje su: = maksimalna ili kritična sila (vertikalno opterećenje stuba), = modul elastičnosti, = površinski moment inercije,
= nepodržana dužina stuba, = faktor efektivne dužine stuba, čija vrijednost zavisi od uslova na kraju podrške stuba, kao ispod: Za oba kraja prikovana (zglobno, slobodno za okretati), = 1,0. Za oba kraja fiksna, = 0,50. Na jednom kraju fiksno, a drugi kraj prikovan, = 0,699.... Na jednom kraju fiksno, a drugi kraj se može bočno slobodno kretati, = 2,0. je efektivna dužina stuba. Pregled ovih formula otkriva slijedeće zanimljive činjenice u vezi sa nosivom sposobnošću vitkih stubova. Elastičnost, a ne pritisna čvrstoća, materijala stuba opisuje kritični napon. Kritični napon je direktno proporcionalan drugom momentu površine poprečnog presjeka. Granični uvjeti imaju značajan utjecaj na kritični napon vitkih štapova. Granični uvjeti određuju način izvijanja i razmak između tački pregiba na otklonskom stubu. Pregibne tačke na otklonskom obliku stuba su one kod kojih krivulje stuba mijenjaju znak i također one koje imaju unutrašnji moment savijanja jednak nuli. Što su zajedno bliže pregibne tačke, veći je ukupni kapacitet štapa.
thumb|Demonstracija modela ilustrira različite "Eulerove" načine izvijanja. Model pokazuje kako stanja izvijanja utječu na kritični napon vitkog stubca. Treba zapaziti da je svaki stub jednak, nezavisno od graničnih uvjeta.
Snaga stuba može dakle biti povećana razmještanjem materijala kako bi se povećao moment inercije. Ovo se može uraditi bez povećanja težine stuba distribuiranjem materijala što dalje moguće od glavne ose površine poprečnog presjeka, držanjem materijala dovoljno debelim da se spriječi lokalno izvijanje. Ovo nosi dobro poznatu činjenicu da je cjevasti dio mnogo efikasniji nego čvrsti dio za stubnu upotrebu.
Sljedeći djelić informacije koji može biti prikupljen iz ove jednačine je efekt na dužinu pri kritičnom naponu. Za datu veličinu stuba, udvostručavanje nepodržane dužine dijeli dozvoljeni napon sa četiri. Uzdržanost ponuđena na krajevima spojeva stuba također utječe na kritični napon. Ako su spojevi savršeno kruti, kritični napon će biti četiri puta veći za isti stub gdje nema otpora rotaciji (u čijem slučaju je stub idealiziran kada ima šarke na krajevima).
Pošto je radijus okretanja definiran kao kvadratni korijen omjera stubnog momenta intercije oko ose za površinu poprečnog presjeka, formula iznad može biti modificirana kao što slijedi. Korištenjem Eulerove formule za krajeve sa šarkom, i mijenjajući A·r2 sa I, dobije se:
gdje su: - dopušteni napon na stub - omjer vitkosti. Pošto su strukturni stubovi često srednje dužine, nemoguće je dobiti idealan stub, sama Eulerova formula ima malu praktičnu primjenu na stvarni dizajn. Problemi koji uzrokuju odstupanje od čistog ponašanja Eulerovog stuba uključuju nesavršenosti u geometriji u kombinaciji sa plastičnosti/nelinearnom naponskom stanju materijala stuba. Naknadno, veći broj empirijskih formula stuba je razvijen da se podudara sa podacima testiranja, od kojih svi utjelovljuju omjer vitkosti. Za dizajn, odgovarajući faktori sigurnosti se ubacuju u ove formule. Jedna od takvih formula je Perry-Robertsonova formula koja predviđa kritični napon izvijanja baziran na početnoj (maloj) krivulji. Rankine-Gordonova formula je također bazirana na eksperimentalnim rezutatima i navodi da će se stub izviti pri sili Fmax datoj sa:
gdje je: Fe - Eulerov maksimalni napon, Fc - maksimalni pritisni napon. Ova formula obično proizvodi konzervativnu procjenu sile Fmax.
Samoizvijanje Slobodnostojeći vertikalni stub, sa gustoćom , Youngovim modulom elastičnosti i radijusom izvit će se pod svojom vlastitom težinom ako visina pređe određenu kritičnu vrijednost:
gdje su: g - gravitaciono ubrzanje, I - drugi moment površine poprečnog presjeka grede B - prva nula Besselove funkcije prvog reda -1/3, što je jednako 1.86635086...
Izvijanje pod mrtvim zateznim opterećenjem thumb|Slika 2. Elastični gredni sistem pokazuje izvijanje pod zateznim mrtvim opterećenjem. Obično, izvijanje i nestabilnost su u uskoj vezi sa kompresijom, ali su nedavno Zaccaria, Bigoni, Noselli i Misseroni (2011.) pokazali da se izvijanje i nestabilnost mogu pojaviti u elastičnim konstrukcijama podvrgnutim mrtvim zateznim opterećenjima. Primjer je konstrukcija sa jednim stepenom slobode kretanja pokazana na sl. 1, gdje je kritični napon također prikazan. Slijedeći primjer koji uključuje savijanje strukture napravljene od grednih elemenata koju upravlja jednačina Eulerove elastičnosti je prikazana na sl. 2. U oba slučaja, nema elemenata podloženih kompresiji. Nestabilnost i izvijanje pri zatezanju je povezana prisutnošću klizača, spoju između dvije šipke, dopuštajući samo relativno klizanje među spojenim dijelovima. Pogledati video za više detalja.
Ograničenja, zakrivljenost i višestruko izvijanje thumb|Slika 3. Konstrukcija sa jednim stepenom slobode kretanja pokazuje zatezni (pritisni) napon izvijanja kao povezan sa činjenicom da se desni kraj pomjera duž kružnog profila nazvan 'Ct' (označen 'Cc'). Izvijanje elastične strukture jako zavisi od zakrivljenosti ograničenja na osnovu kojih su krajevi strukture propisani za kretanje. U principu, čak i sistem sa jednim stepenom slobode kretanja (pogledati sl. 3) može ispoljavati zatezno (ili pritisno) izvijajuće opterećenje što se odnosi na činjenicu da se jedan kraj mora kretati duž kružnog profila nazvan 'Ct' (označen 'Cc').
thumb|Slika 4. Konstrukcija sa jednim stepenom slobode kretanja sa 'S'-oblikom dvokružnog profila pokazuje višestruke bifurkacije (i zatezne i pritisne). Dva kružna profila mogu biti uređeni u profilu 'S'-oblika, kao što prikazuje sl. 4; u tom slučaju prekidnost ograničenja zakrivljenosti je predstavljena, što dovodi do višestrukih razdvajanja. Napomena: konstrukcija jednog stepena slobode kretanja pokazana na sl. 4. ima dva opterećenja izvijanja (jedan zatezni i jedan pritisni). Pogledati video za više detalja.
Nestabilnost usljed podrhtavanja Konstrukcijski predmet pratilac (nekonzervativnog) opterećenja može trpiti nestabilnosti koje nisu tip izvijanja i prema tome nisu prepoznatljivi statičkim pristupom.Bigoni, D. Nonlinear Solid Mechanics: Bifurcation Theory and Material Instability. Cambridge University Press, 2012 . . Naprimjer, tzv. 'Ziegler stub' je prikazan na sl. 5. thumb|Slika 5. Skica 'Zieglerovog stuba', sistem sa 2 stepena slobode kretanja podložen pratećim naponom (sila P ostaje uvijek paralelna štapu BC), izlažući se lepršanju i divergenciji nestabilnosti. Dva štapa, linearne masene gustoće ρ, su kruti i povezani preko 2 rotacione opruge krutosti k1 i k2. Ovaj sistem sa dva stepena slobode kretanja ne prikazuje kvazistatičko izvijanje, ali postaje dinamički nestabilan. Da se ovo primjeti, napominje se da su jednačine kretanja:
i njihova linearizirana verzija je:
Pod pretpostavkom da je vremenski harmonično rješenje u obliku:
nalazimo kritične napone za podrhtavanje () i odstupanje (),
gdje je i .
thumb|Slika 6. Redoslijed deformiranih oblika u intervalima zaredom strukture skicirane u sl. 5 i podvrgnuti su lepršanju (gornji dio) i divergenciji (donji dio) nestabilnosti. Nestabilnost podrhtavanja odgovara vibracijskom kretanju povećanja amplitude i prikazana je na sl. 6. (gornji dio) zajedno sa odstupanjem nestabilnosti (donji dio) koja se sastoji u eksponencijalnom rastu.
Nedavno, Bigoni i Noselli (2011) su eksperimentalno pokazali da podrhtavanje i odstupanje nestabilnosti mogu direktno utjecati na suho trenje (frikciju); pogledati video za više detalja.
Razni oblici izvijanja